[論文レビュー] Faster Streaming algorithms for graph spanners

Surender Baswana|ArXiv.org|Nov 6, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、重みなしグラフにおける(2k−1)-スパンナを単一パスのストリーミングアルゴリズムで計算するもので、合計処理時間がO(m)で、最適なサイズ-ストレッチトレードオフを達成し、ストリームソートモデルを用いて重み付きグラフへ拡張した。主な貢献は、各エッジあたり定数時間の処理で実現可能な近似的に最適な、効率的なスパンナ構築のストリーミングアルゴリズムである。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$ on $n$ vertices, $m$ edges, and an integer $t\ge 1$, a subgraph $(V,E_S)$, $E_S\subseteq E$ is called a $t$-spanner if for any pair of vertices $u,v \in V$, the distance between them in the subgraph is at most $t$ times the actual distance. We present streaming algorithms for computing a $t$-spanner of essentially optimal size-stretch trade offs for any undirected graph. Our first algorithm is for the classical streaming model and works for unweighted graphs only. The algorithm performs a single pass on the stream of edges and requires $O(m)$ time to process the entire stream of edges. This drastically improves the previous best single pass streaming algorithm for computing a $t$-spanner which requires $θ(mn^{\frac{2}{t}})$ time to process the stream and computes spanner with size slightly larger than the optimal. Our second algorithm is for {\em StreamSort} model introduced by Aggarwal et al. [FOCS 2004], which is the streaming model augmented with a sorting primitive. The {\em StreamSort} model has been shown to be a more powerful and still very realistic model than the streaming model for massive data sets applications. Our algorithm, which works of weighted graphs as well, performs $O(t)$ passes using $O(\log n)$ bits of working memory only. Our both the algorithms require elementary data structures.

研究の動機と目的

• 重みなしグラフにおいて、近似的に最適なサイズ-ストレッチトレードオフを達成する(2k−1)-スパンナを、単一パスのストリーミングアルゴリズムで計算すること。
• より強力なストリーミングモデル、ストリームソートモデルを用いて、アルゴリズムを重み付きグラフへ拡張すること。
• スパンナサイズを近似的に最適に保ちながら、パス数、作業メモリ、およびエッジあたりの処理時間を最小限に抑えること。
• 古典的ストリーミングモデルにおいて、エッジあたり定数の平均処理時間を達成すること。
• 期待されるスパンナサイズO(kn^{1+1/k})と、予想される最適境界Ω(n^{1+1/k})とのギャップを解消すること。

提案手法

• 頂点をクラスタにグループ化し、クラスタ中心からの近接度に基づいてエッジを処理するクラスタリングに基づくアプローチを採用する。
• 各イテレーションで、頂点を確率n^{-1/k}でサンプリングし、サンプリングされたクラスタに属する頂点に接続するエッジをスパンナに含める対象とする。
• 各頂点について、距離が最も近いサンプリング済みクラスタまでの距離未満の重みを持つクラスタに対して、最も軽いエッジのみをスパンナエッジとしてマークする。
• ストリームパスを用いて非スパンナエッジをフィルタリングし、ソートパスを用いて無向エッジの両方向をまとめて効率的に削除する。
• ストリームソートモデルでは、複数のパスを用いる：まず頂点ごとにエッジをグループ化するソートパスを実行し、その後ストリームパスを用いてクラスタ中心を割り当て、エッジメタデータを更新する。
• 各エッジについてlcenterおよびrcenterを維持し、クラスタ所属を追跡し、複数のパスに跨る一貫性のある経路近似を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みなしグラフにおいて、エッジストリーム上で単一パスで(2k−1)-スパンナを計算でき、合計処理時間がO(m)であるか？
• RQ2 ストリーミングアルゴリズムを重み付きグラフへ拡張しても、低メモリおよび低パス数を維持できるか？
• RQ3 ストリームソートモデルにおいて、(2k−1)-スパンナの計算にO(log n)の作業メモリとO(k)のパス数を達成できるか？
• RQ4 ストリーミングモデルにおけるスパンナサイズとアルゴリズム効率のトレードオフは何か？
• RQ5 スパンナサイズO(kn^{1+1/k})における乗数kをストリーミングアルゴリズムで排除できるか？

主な発見

• 提案された重みなしグラフ用単一パスストリーミングアルゴリズムは、合計時間O(m)で実行され、エッジあたり定数の平均処理時間を達成する。
• アルゴリズムは、期待サイズO(kn^{1+1/k})の(2k−1)-スパンナを計算し、最適なサイズ-ストレッチトレードオフを達成する。
• ストリームソートモデルにおいて、アルゴリズムはO(k)パスとO(log n)の作業メモリを用いて重み付きグラフの(2k−1)-スパンナを計算する。
• スパンナの期待サイズはO(min(m, kn^{1+1/k}))であり、因子kの違いを除いて予想される下界と一致する。
• クラスタリングに関する帰納的証明により正しさを保証し、削除されたエッジはスパンナ内に(2k−1)エッジの経路を持つことが保証される。
• パス数、メモリ、処理時間、スパンナサイズのすべての効率指標において、近似的に最適性を達成する。