[論文レビュー] Fault-Tolerant Spanners: Better and Simpler

Michael Dinitz, Robert Krauthgamer|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、一般グラフにおけるr故障耐性kスパンナの新規多項式時間構成法を提示する。k ≥ 3の場合、従来の指数的依存関係と異なり、rに多項式的に依存するサイズバウンドを達成する。k=2および単位辺長の場合、rに依存しないO(log n)近似アルゴリズムを提示し、従来のO(r log n)のバウンドを著しく改善する。これはより強いLP緩和と分散アルゴリズムを用いることで達成される。

ABSTRACT

A natural requirement of many distributed structures is fault-tolerance: after some failures, whatever remains from the structure should still be effective for whatever remains from the network. In this paper we examine spanners of general graphs that are tolerant to vertex failures, and significantly improve their dependence on the number of faults $r$, for all stretch bounds. For stretch $k \geq 3$ we design a simple transformation that converts every $k$-spanner construction with at most $f(n)$ edges into an $r$-fault-tolerant $k$-spanner construction with at most $O(r^3 \log n) \cdot f(2n/r)$ edges. Applying this to standard greedy spanner constructions gives $r$-fault tolerant $k$-spanners with $ ilde O(r^{2} n^{1+\frac{2}{k+1}})$ edges. The previous construction by Chechik, Langberg, Peleg, and Roddity [STOC 2009] depends similarly on $n$ but exponentially on $r$ (approximately like $k^r$). For the case $k=2$ and unit-length edges, an $O(r \log n)$-approximation algorithm is known from recent work of Dinitz and Krauthgamer [arXiv 2010], where several spanner results are obtained using a common approach of rounding a natural flow-based linear programming relaxation. Here we use a different (stronger) LP relaxation and improve the approximation ratio to $O(\log n)$, which is, notably, independent of the number of faults $r$. We further strengthen this bound in terms of the maximum degree by using the \Lovasz Local Lemma. Finally, we show that most of our constructions are inherently local by designing equivalent distributed algorithms in the LOCAL model of distributed computation.

研究の動機と目的

• rに指数的依存するr故障耐性スパンナサイズの問題を、特にk ≥ 3の場合に多項式的依存に低減すること。
• rに依存しないO(log n)の近似比を達成するr故障耐性2スパンナの近似比を、O(r log n)から改善すること。
• LOCALモデルにおける故障耐性スパンナ構成の分散アルゴリズムを設計すること。
• 故障耐性スパンナ構成の近似を向上させるために、指数的多くのナップサックカバー制約を捉えるより強いLP緩和を提供すること。

提案手法

• 任意のf(n)本の辺を持つkスパンナ構成を、O(r³ log n · f(2n/r))本の辺を持つr故障耐性kスパンナに変換する一般的変換を導入する。
• この変換を貪欲スパンナアルゴリズムに適用し、k ≥ 3に対してO(r²⁻²/(k+1) n¹⁺²/(k+1) log n)のサイズを達成する。
• すべてのナップサックカバー不等式を含むより強い線形プログラミング緩和を用いて、k=2の場合にO(log n)近似を達成する。
• パッドド分解とチェルノフ不等式に基づく確率的反復丸め法を用い、故障耐性を保証する。
• 局所計算とクラスタベースの調整を用いて、LP丸めプロセスをシミュレートすることで、LOCALモデルにおける分散アルゴリズムを設計する。
• エッジコストが1の場合、ロヴァーズのローカルレーム（Lovász Local Lemma）を用いてO(log n)のバウンドをO(log Δ)に強化する。ここでΔは最大次数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3の場合に、r故障耐性kスパンナサイズにおけるrへの指数的依存関係を多項式的依存に置き換えることは可能か？
• RQ2 rに依存しない近似比を達成するr故障耐性2スパンナの近似比は実現可能か？
• RQ3 ナップサックカバー制約を含むより強いLP緩和は、故障耐性スパンナ構成における近似保証の向上に利用可能か？
• RQ4 故障耐性スパンナアルゴリズムを分散環境で効率的に実装する方法は何か？
• RQ5 r故障耐性2スパンナの最良の近似比は何か？非故障耐性のバウンドO(log |E|/|V|)に一致可能か？

主な発見

• k ≥ 3の場合、本稿はO(r²⁻²/(k+1) n¹⁺²/(k+1) log n)のサイズを持つr故障耐性kスパンナを構成し、rに指数的依存する従来の結果を改善する。
• 一般的変換により、任意のf(n)本の辺を持つkスパンナ構成に対して、O(r³ log n · f(2n/r))本の辺を持つr故障耐性kスパンナが得られ、rに多項式的依存が実現される。
• k=2および単位辺長の場合、rに依存しないO(log n)近似アルゴリズムを達成し、従来のO(r log n)のバウンドを改善する。
• ナップサックカバー制約を含むより強いLP緩和により、O(log n)近似が可能であり、O(ε⁻³ log n)ラウンドで(1+ε)の精度で解ける。
• 分散アルゴリズムはLOCALモデルでO(ε⁻³ log n)ラウンドで実行され、分散ネットワークにおける効率的実装を可能にする。
• エッジコストが1の場合、ロヴァーズのローカルレームを用いて近似比がO(log Δ)に改善され、ここでΔは最大次数を表す。