[論文レビュー] (FC)-Sequences, Mixed Multiplicities and Reductions of Modules

R. Callejas-Bedregal, V. H. Jorge Pérez|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ネーター局域環上の自由加群の任意の部分加群の還元と混合多重度を研究する文脈で、標準的次数付き代数の文脈において（FC）-列および弱（FC）-列を導入する。混合多重度は（FC）-列によって生成される加群のバックスバウム＝リム多重度を介して特徴づけられ、非ゼロの混合多重度が発生するのは、関連するイデアルの高さから1を引いた値より小さい総次数を持つ多指数のときであることが示された。

ABSTRACT

Let $(R, \mathfrak m)$ be a Noetherian local ring. In this work we use the notion of (FC)-sequences, as defined in \cite{perez-bedregal1}, to present some results concerning reductions and the positivity of mixed multiplicities of a finite collection of arbitrary submodules of $R^p.$ We also investigate the length of maximal (FC)-sequences. We actually work in the more general context of standard graded $R$-algebras.

研究の動機と目的

• ネーター局域環上の自由加群の任意の部分加群に対して、混合多重度および還元の理論を一般化すること。
• 元来イデアルのためのものとして開発された（FC）-列を、モジュールへと拡張し、混合多重度の特徴づけを可能にすること。
• 最大の（FC）-列の長さと部分加群の還元との関係を調査すること。
• 混合多重度がゼロまたは非ゼロのままとなる条件を、特にイデアルの高さとモジュールの台の観点から確立すること。

提案手法

• 関心のある部分加群を含む $G_1$ を持つ標準的次数付き $R$-代数 $G = \bigoplus G_n$ の枠組みを用いる。
• $G_1$ の $R$-部分加群の族に対して、次数付き $G$-加群 $M$ に関する（FC）-列および弱（FC）-列を定義する。
• バックスバウム＝リム多重度理論を適用し、混合多重度と（FC）-列によって生成される加群の多重度との関係を確立する。
• 部分加群 $E \subset R^p$ のリース代数 ${\rm \bf R}(E)$ を用いて、モジュール論的問題を次数代数的問題に翻訳する。
• $\mathcal{I} = \text{ideal generated by } I_1 \cdots I_q$ 及びその annihilator を用いて、関連する台および次元条件を定義する。
• $M = G \otimes_R N$ の同型および $h \in E_i$ と $w(h) \in G_1$ 間の対応を用いて、次数代数の設定からモジュールの設定へ結果を再翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 （FC）-列をイデアルから自由加群の任意の部分加群へ一般化することで、混合多重度をどのように研究できるか？
• RQ2 次数代数の文脈において、最大の（FC）-列の長さと部分加群の還元との関係は何か？
• RQ3 部分加群の族の混合多重度がゼロまたは非ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 部分加群の積によって生成されるイデアル $\mathcal{I}$ の高さは、混合多重度の非ゼロ性とどのように関係するか？
• RQ5 バックスバウム＝リム多重度を用いて、（FC）-列を通じてモジュールの混合多重度を計算または特徴づけることができるか？

主な発見

• 第 $j$ 個の混合多重度 $e^j(F^{[k_0]}, E_1^{[k_1]}, \dots, E_q^{[k_q]}; N)$ は、$\overline{G} = G/(x_1, \dots, x_t)G$ および $x_1, \dots, x_t$ が長さ $t = |\mathbf{k}|$ の弱（FC）-列であるとき、バックスバウム＝リム多重度 $e^j_{BR}(J, \overline{G})$ に等しい。
• 混合多重度 $e^j(F^{[k_0]}, E_1^{[k_1]}, \dots, E_q^{[k_q]}; N)$ が非ゼロであるための必要十分条件は、$|\mathbf{k}| \leq \text{ht}(\mathcal{I}) - 1$ である。ここで $\mathcal{I}$ は $I_1 \cdots I_q$ によって生成されるイデアルである。
• $I_1 \cup \cdots \cup I_q$ における $(J, I; M)$ に関する最大の弱（FC）-列の長さは、$I_1, \dots, I_q$ の共同還元の生成数の最小値 $s(I)$ に等しい。
• $\text{ht}(\mathcal{I}) = s(I)$ ならば、$e^j(F^{[k_0]}, E_1^{[k_1]}, \dots, E_q^{[k_q]}; N) \neq 0$ となるのは、$|\mathbf{k}| \leq \text{ht}(\mathcal{I}) - 1$ のときである。
• 混合多重度が非ゼロであることは、$I_1 \cup \cdots \cup I_q$ に長さ $|\mathbf{k}|$ の弱（FC）-列が存在することと同値である。
• $M/(0_M:\mathcal{I}^\infty)$ の台の次元は、$\dim(M/(0_M:\mathcal{I}^\infty)) = \dim(\text{Proj}(G)) - s(I)$ を満たし、台の次元と最大の弱（FC）-列の長さを結びつける。