[论文解读] Feedback arc set problem and NP-hardness of minimum recurrent configuration problem of Chip-firing game on directed graphs

Kévin Perrot, Trung Van Pham|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 40被引用 13

一句话总结

本文建立了欧拉有向图上最小反馈弧集（MINFAS）问题与最小循环配置（MINREC）问题之间的紧密联系。通过证明欧拉有向图上的MINFAS问题是NP难的，作者进一步证明MINREC问题也是NP难的，从而解决了该类图的一个关键复杂性问题，并将已知的难解性结果推广到无向图的自然推广形式。

ABSTRACT

In this paper we present further studies of recurrent configurations of Chip-firing games on Eulerian directed graphs (simple digraphs), a class on the way from undirected graphs to general directed graphs. A computational problem that arises naturally from this model is to find the minimum number of chips of a recurrent configuration, which we call the minimum recurrent configuration (MINREC) problem. We point out a close relationship between MINREC and the minimum feedback arc set (MINFAS) problem on Eulerian directed graphs, and prove that both problems are NP-hard.

研究动机与目标

• 研究欧拉有向图上芯片下落游戏中最小循环配置的计算复杂性。
• 探讨欧拉有向图中反馈弧集与循环配置之间的结构性关系。
• 确定最小循环配置（MINREC）问题是否可在多项式时间内求解，或为NP难。
• 将反馈弧集问题在欧拉有向图上的已知NP难性结果扩展至该类图，该类图处于无向图与一般有向图之间。

提出的方法

• 引入最大无环弧集的概念，作为欧拉有向图中反馈弧集的补集。
• 证明寻找最大无环弧集的问题可限制于由汇点（入度为零的顶点）定义的特定子集。
• 通过配置映射 c(v) = deg⁺(v) − deg⁻_A(v)（v ≠ s）在无环弧集与循环配置之间建立双射关系。
• 利用放电图模型分析循环配置，并推导出芯片数量的下界。
• 通过证明 k + k′ = Σ deg⁺(v)（对所有非汇点顶点）建立从MINREC到欧拉有向图上MINFAS的多项式时间约化。
• 利用已知的欧拉有向图上MINFAS的NP难性，推断出一般有向图上MINREC的NP难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉有向图上的最小循环配置（MINREC）问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 欧拉有向图上的反馈弧集问题是否可高效求解，或为NP难？
• RQ3 欧拉有向图中无环弧集与循环配置之间存在何种结构性关系？
• RQ4 欧拉有向图上MINFAS的NP难性是否意味着一般有向图上MINREC的NP难性？
• RQ5 能否通过欧拉有向图中的无环定向或弧集来刻画最小循环配置？

主要发现

• 通过从反馈弧集问题的约化，证明了欧拉有向图上的最小循环配置（MINREC）问题是NP难的。
• 欧拉有向图上的反馈弧集问题为NP难，将先前的难解性结果推广至该类图的中间层次。
• 建立了最小循环配置中芯片总数与最大无环弧集大小之间的多项式时间等价关系：k + k′ = Σ deg⁺(v)，其中对所有非汇点顶点求和。
• 在无环子图中存在一个入度为零的汇点s，可由此构造出芯片数最少的循环配置。
• 即使将MINREC问题限制在仅含一个汇点的欧拉有向图上，其NP难性依然成立，该子类具有自然且结构化的特征。
• 对于存在优质汇点（即所有最大无环弧集大小相同）的欧拉有向图类，其规模较大但尚未完全刻画，提示该类图可能适用于MINFAS问题的启发式方法。