[論文レビュー] Feedback stabilization of dynamical systems with switched delays

Raphaël M. Jungers, Alessandro D’Innocenzo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、マルチホップ無線ネットワークに起因するスイッチング遅延を伴う離散時間線形システムにおけるフィードバック安定化をモデル化・分析するためのスイッチングシステムフレームワークを提案する。遅延依存型および遅延非依存型の制御則が両方ともスイッチングシステムとしてモデル化可能であることを示し、安定性検証問題がNP困難であることを証明するとともに、任意の精度で近似可能な安定性解析のアルゴリズム的手法を提供し、スイッチングダイナミクス下での制御則設計における新たな課題を明らかにする。

ABSTRACT

We analyze a classification of two main families of controllers that are of interest when the feedback loop is subject to switching propagation delays due to routing via a wireless multi-hop communication network. We show that we can cast this problem as a subclass of classical switching systems, which is a non-trivial generalization of classical LTI systems with timevarying delays. We consider both cases where delay-dependent and delay independent controllers are used, and show that both can be modeled as switching systems with unconstrained switchings. We provide NP-hardness results for the stability verification problem, and propose a general methodology for approximate stability analysis with arbitrary precision. We finally give evidence that non-trivial design problems arise for which new algorithmic methods are needed.

研究の動機と目的

• 無線ネットワーク制御系にスイッチング遅延を含む場合、従来の時変遅延モデルを超えるルーティングに起因するダイナミクスを捉えるために、スイッチングシステムとしてモデル化すること。
• スイッチング遅延下での線形離散時間システムの安定性を分析し、遅延依存型と遅延非依存型の制御則フレームワークを区別すること。
• 安定性検証の計算複雑性を確立し、一般にNP困難であることを証明すること。
• 任意の精度で近似可能な安定性解析のアルゴリズム的手順を開発し、実用的な検証を可能にすること。
• 特に遅延非依存型制御則のケースにおいて、新たなアルゴリズム的手法を要する非自明な設計課題を同定すること。

提案手法

• 現在および過去の状態を含む状態ベクトルを用いることで、システムをスイッチングシステムとして再定式化し、変動する遅延の影響をモデル化可能とする。
• 遅延依存型制御則では、スイッチング信号の知識を用い、過去の制御出力を記憶することで、現在の制御入力を計算する。
• 遅延非依存型制御則では、遅延の知識を一切持たず、過去の状態の記憶に依存してシステムを安定化させる。
• システムのダイナミクスは、異なるルーティング経路（それぞれ異なる遅延を有する）に対応するスイッチング信号 σ(t) を持つスイッチング行列 Mσ(t) で表現される。
• x(t−1)、x(t)、u1(t) を追跡可能な3次元状態ベクトルを用いることで、スイッチング遅延ダイナミクスを正確に表現可能となる。
• 安定性の評価にはスイッチング行列の共同スペクトル半径（JSR）を用い、数値的検証にはJSRツールボックスを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スイッチング遅延を伴う線形フィードバックシステムが、特に遅延非依存型制御則フレームワーク下で安定化可能となる条件は何か？
• RQ2 このようなシステムの安定性検証問題はNP困難であるか？ また、任意の精度で近似可能か？
• RQ3 1次元ケースにおいて、特定のパラメータ値（例：a, b, D）に対して、安定化可能な遅延非依存型制御則が存在するか？
• RQ4 信号ホールドポリシーの選択（例：ゼロホールド対ホールド）が、間欠的フィードバックを伴うシステムの可制御性および安定性に与える影響は何か？
• RQ5 遅延が確率的に分布する場合に、凸最適化手法を用いてほぼ確実な安定性を分析可能か？

主な発見

• スイッチング遅延を伴うシステムの安定性検証問題はNP困難である。これは、一般に効率的な正確なアルゴリズムが存在しないことを示唆する。
• a > 3 の場合、制御則ゲインにかかわらずシステムは不安定である。これは、スイッチング行列 M1 のトレースが少なくとも3であるためである。
• a < 1 の場合、制御則を一切設けなくてもシステムは安定化可能である。これは、オープンループシステムが既に安定であるためである。
• a = 1.1 の場合、記憶（k1 = 0）がなくても安定化制御則が存在する。例えば、k2 = -0.5 とすることで、スイッチングシステムは安定となる。
• a = 2 の場合、非ゼロの記憶（k1 ≠ 0）が必要となる。例えば、k1 = 0.4 かつ k2 = -1.5 とすることで、2×2部分系が k1 = 0 の場合に不安定になるため、安定化が可能となる。
• 安定化制御則に対して、スイッチング行列 {M0, M1} の共同スペクトル半径は1未満である。これは、JSRツールボックスによる数値的検証で確認された。