[論文レビュー] Fermionic tomography and learning

Bryan O’Gorman|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、フェルミオン的ガウス的でかつクラiffordであるユニタリのアンサンブルを用いたフェルミオン的シャロウトモグラフィーの組合せ的解析を提示し、分散推定器を補正し、$n$-電子スレーター行列式の効率的学習を可能にする。$\epsilon$-忠実度学習のためのサンプル複雑度は $O(n^2 m^7 \log(m/\delta)/\epsilon^2)$ であり、忠実度および $X$-類似演算子推定のための明確な境界と数値的証拠を提示する。

ABSTRACT

Shadow tomography via classical shadows is a state-of-the-art approach for estimating properties of a quantum state. We present a simplified, combinatorial analysis of a recently proposed instantiation of this approach based on the ensemble of unitaries that are both fermionic Gaussian and Clifford. Using this analysis, we derive a corrected expression for the variance of the estimator. We then show how this leads to efficient estimation protocols for the fidelity with a pure fermionic Gaussian state (provably) and for an $X$-like operator of the form ($|\mathbf 0 angle\langleψ|$ + h.c.) (via numerical evidence). We also construct much smaller ensembles of measurement bases that yield the exact same quantum channel, which may help with compilation. We use these tools to show that an $n$-electron, $m$-mode Slater determinant can be learned to within $ε$ fidelity given $O(n^2 m^7 \log(m / δ) / ε^2)$ samples of the Slater determinant.

研究の動機と目的

• 古典的シャロウを用いたフェルミオン的状態推定のための効率的で組合せ的なフレームワークの開発。
• フェルミオン的ガウス的-クラiffordアンサンブルにおける古典的シャロウ推定器の分散表現の修正。
• 純粋なフェルミオン的ガウス状態との忠実度を推定するための証明可能な効率的プロトコルの確立。
• 同じ量子チャネルを保つように、より小さな測定アンサンブルの構築により、量子回路コンパイルを支援する。
• $n$-電子、$m$-モードのスレーター行列式を $\epsilon$ 忠実度以内に学習するためのタイトなサンプル複雑度境界の導出。

提案手法

• 測定基底として、アフィン（クラifford）かつマッチゲート（フェルミオン的ガウス）であるユニタリからなるアフィン・マッチゲートアンサンブルを用いる。
• 一般演算子の2次モーメントの修正表現を導出し、シャロウノルム（および推定器の分散）の境界を制限する。
• ゲルシュゴリンの円定理を用いて、推定された縮約密度行列における固有値の摂動を境界化し、忠実度の保存を保証する。
• スレーター行列式が1-粒子密度行列（1-RDM）によって完全に特徴付けられることを応用し、誤差が有界な1-RDMの推定に学習問題を還元する。
• トレースノルムが無限大となる観測量に対しても耐性を持つよう、中央値の平均推定器を用いる。
• 完全なアフィン・マッチゲートアンサンブルと同一の量子チャネルを生成する最小の測定アンサンブルを構築し、回路の深さとコンパイルのオーバーヘッドを削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的ガウス的-クラiffordアンサンブルにおける古典的シャロウ推定器の分散の正しい表現は何か？
• RQ2 証明可能なサンプル複雑度を伴うシャロウトモグラフィーを用いて、学習された状態とターゲットのスレーター行列式との忠実度を境界化できるか？
• RQ3 同じ量子チャネルを保ちながら、測定アンサンブルを最小化する方法は何か？ これは、効率的な量子コンパイルに寄与する。
• RQ4 $n$-電子、$m$-モードのスレーター行列式を $\epsilon$ 忠実度以内に学習するための最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ5 トレースノルムが無限大となるような非トレースクラスの観測量（例：$X$-類似演算子）を推定するためのフレームワークは拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、フェルミオン的ガウス的-クラiffordアンサンブルにおける一般演算子の2次モーメントの修正表現を導出し、古典的シャロウ推定器の分散境界を厳密にした。
• スレーター行列式を $\epsilon$ 忠実度以内に学習するサンプル複雑度は $O(n^2 m^7 \log(m/\delta)/\epsilon^2)$ であり、これは証明可能な効率性を有する。
• 数値的証拠により、$(|\mathbf{0}\rangle\langle\psi| + |\psi\rangle\langle\mathbf{0}|)$ の形をした $X$-類似演算子の推定が、提案されたフレームワークにより実現可能であることが示された。
• 著者らは、完全なアフィン・マッチゲートアンサンブルと同一の量子チャネルを生成するより小さな測定アンサンブルを構築し、リソースのオーバーヘッドを削減した。
• ゲルシュゴリンの円定理を用いて、推定された1-RDMにおける固有値の摂動を境界化し、学習された状態が忠実度においてターゲットに近いことを保証した。
• 解析により、忠実度推定器のシャロウノルムが有界であることが示され、導出された誤差領域内ではサンプル平均推定器の使用が可能になった。