[論文レビュー] Fiber functors, monoidal sites and Tannaka duality for bialgebroids

Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Jul 9, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非アーベル的で小さな加法的モノイダル圏へのファイバー関手の一般化を用いて、bialgebroidsに対するTannaka双対性の定理を確立する。モノイダルサイトと層的構成を用いることで、再構成されたbialgebroidのコモジュール圏が、元の圏におけるモノイダルGrothendieck位相に関する層の圏と同値であることを示す。これは、アーベル的でない設定へと以前の結果を拡張する。

ABSTRACT

What are the fiber functors on small additive monoidal categories C which are not abelian? We give an answer which leads to a new Tannaka duality theorem for bialgebroids generalizing earlier results by Phung Ho Hai. The construction reveals a sheaf theoretic interpretation in so far as the reconstructed bialgebroid H has comodule category equivalent to the category of T-sheaves w.r.t. a monoidal Grothendieck topology on C. We also prove an existence theorem for fiber functors on small additive monoidal categories with bounded fusion and weak kernels. For certain autonomous categories a generalized Ulbrich Theorem can be formulated which relates fiber functors to Hopf algebroid Galois extensions.

研究の動機と目的

• アーベル的でない小規模な加法的モノイダル圏へのTannaka双対性の拡張を目的とし、核や余核の欠如により従来のファイバー関手が機能しない状況を想定する。
• Deligne, Hai, Ulbrichの古典的枠組みを一般化し、非アーベル的圏に適した新たなファイバー関手のクラスを定義する。
• モノイダルGrothendieck位相上の層を用いた、bialgebroidsの再構成定理を確立することで、圏的双対性と層理論を結びつける。
• 有界な融合および弱い核条件の下でファイバー関手の存在を証明し、アーベル的でない圏への適用範囲を拡大する。

提案手法

• ファイバー関手 $F$ からプレ層圏へのモノイダル拡張関手 $\mathcal{F}$ を構成し、テンソル構造を保存する。
• 元の圏とプレ層圏の間のモノイダル随伴 $\mathcal{F} \dashv \mathcal{G}$ を導入する。
• その代数がモノイダルGrothendieck位相に関する層に対応するモノイダルイデムポテンスモノイド $\mathsf{T}$ を定義する。
• 比較関手を用いて、再構成されたbialgebroidのコモジュール圏と $\mathsf{T}$-層の圏を関連付ける。
• 埋め込み定理を適用し、$\mathsf{T}$-層の圏をbialgebroid上のモジュールのフル部分圏として実現する。
• 自己双対的設定における、ファイバー関手とHopf algebroid Galois拡張を結ぶ一般化Ulbrich定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な加法的モノイダル圏 $\mathcal{C}$ がアーベル的でない場合、その上でファイバー関手が存在するための条件は何か？
• RQ2 源となる圏がアーベル的でない場合に、bialgebroidsに対するTannaka双対性をどのように再構成できるか？
• RQ3 再構成されたbialgebroidにおけるコモジュール圏の層的解釈は何か？
• RQ4 モノイダルGrothendieck位相は、ファイバー関手およびTannaka再構成の構造とどのように関係するか？
• RQ5 自己双対的設定において、ファイバー関手とGalois拡張を用いて、Hopf algebroidsに対する一般化Ulbrich定理を定式化できるか？

主な発見

• 再構成されたbialgebroid $H$ のコモジュール圏は、$\mathcal{C}$ 上のモノイダルGrothendieck位相に関する $\mathcal{T}$-層の圏と同値であり、Tannaka双対性の層的解釈を提供する。
• 有界な融合および弱い核条件を満たす小規模な加法的モノイダル圏ではファイバー関手が存在し、Tannaka双対性の適用範囲がアーベル的でない圏へと拡張される。
• 再構成定理により、モノイダル同値 $\mathcal{C} \simeq \mathcal{M}^Q_{\mathrm{fgp}}$ が確立され、ここで $\mathcal{M}^Q_{\mathrm{fgp}}$ は、有限生成射影的双モジュールをもつコモジュールのフル部分圏を表す。
• 自己双対的圏では、一般化Ulbrich定理が証明され、ファイバー関手がGalois対象 $G$ を通じてHopf algebroid Galois拡張と関係づけられる。
• 再構成されたbialgebroidの反対作用素はHopf algebroidの公理を満たし、さらに圏 $\mathcal{C}$ がピボタル的であれば、その作用はインボリューション的である。
• 本論文は、Deligne や Hai の結果を非可換基底環へと拡張する $k$-線形版の再構成定理を提供する。