[論文レビュー] Fiber respecting quasi-isometries of surface group extensions

Lee Mosher|ArXiv.org|Aug 7, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ g \geq 2 $ の genus を持つ一回の穴あき曲面 $ S $ の写像類群 $ \mathcal{MCG}(S,p) $ に対して、準等長的剛性定理を確立する。すべてのファイバーを尊重する $ \mathcal{MCG}(S,p) $ の準等長的写像は、群の左乗法により一様に近いことを証明する。ケビン・ワイツの結果と組み合わせることで、$ \mathcal{MCG}(S,p) $ に準等長的同型である任意の有限生成群は、$ \mathcal{MCG}(S,p) $ に有限核・有限指数の像を持つ準同型をもつことが示され、写像類群の準等長的剛性予想の重要なケースを確認する。

ABSTRACT

Let S be a closed, oriented surface of genus at least 2, and consider the extension 1 -> pi_1 S -> MCG(S,p) -> MCG(S) -> 1, where MCG(S) is the mapping class group of S, and MCG(S,p) is the mapping class group of S punctured at p. We prove that any quasi-isometry of MCG(S,p) which coarsely respects the cosets of the normal subgroup pi_1 S is a bounded distance from the left action of some element of MCG(S,p). Combined with recent work of Kevin Whyte this implies that if K is a finitely generated group quasi-isometric to MCG(S,p) then there is a homomorphism K -> MCG(S,p) with finite kernel and finite index image. Our work applies as well to extensions of the form 1 -> pi_1 S -> Gamma_H -> H -> 1, where H is an irreducible subgroup of MCG(S)--we give an algebraic characterization of quasi-isometries of Gamma_H that coarsely respect cosets of pi_1 S.

研究の動機と目的

• 一度の穴あき曲面 $ S $ の写像類群 $ \mathcal{MCG}(S,p) $ に対して、準等長的剛性結果を確立すること。
• ファイバーを尊重する $ \mathcal{MCG}(S,p) $ の準等長的写像の群を同定し、それが群の元による左乗法により一様に近いことを示すこと。
• 群 $ H < \mathcal{MCG}(S) $ に対して、一般の曲面群拡張 $ 1 \to \pi_1(S) \to \Gamma_H \to H \to 1 $ にこの結果を拡張すること。
• 任意の $ \mathcal{MCG}(S,p) $ に準等長的同型な有限生成群 $ G $ が、有限核・有限指数の像を持つ $ G \to \mathcal{MCG}(S,p) $ の準同型をもつことを証明し、幾何的群論における予想を確認すること。

提案手法

• デーン＝ニールセン＝エプスタイン＝バーアの定理を用いて、穴あき曲面の写像類群を介して $ \mathcal{MCG}(S,p) $ を普遍的な曲面群拡張として実現する。
• 群 $ \pi_1(S) $ の陪集合を粗く保存する準等長的写像（「ファイバーを尊重する」と呼ばれる）の理論を適用する。
• 写像類群 $ \mathcal{MCG}(S) $ がテイヒミュラー空間 $ \mathcal{T}(S) $ に作用することを活用し、擬アノソフ要素の粗い軸を用いて、群の元とテイヒミュラー計量における測地線の放射を関連付ける。
• $ \Gamma_H $ のケイリー図形と、擬アノソフ要素の粗い軸の上に積層された双曲平面の間の準等長的写像を構成する。関連する計量空間の双曲性を用いる。
• 固定された共軌型類に属する擬アノソフ要素に対して、粗い軸を等長的につくることで、個々の群の元に依存しない一様な境界を得る。
• 定量的なアプローチを適用し、準等長的写像が群の元による左乗法から一様に近いことを示し、その境界は準等長的定数と $ S $ の genus のみに依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ \mathcal{MCG}(S,p) $ の準等長的写像はファイバーを尊重するか、すなわち $ \pi_1(S) $ の陪集合を有限ハウスドルフ距離の範囲で保存するか？
• RQ2 すべてのファイバーを尊重する $ \mathcal{MCG}(S,p) $ の準等長的写像は、群の元による左乗法により一様に近い近似が可能か？
• RQ3 任意の有限生成群が $ \mathcal{MCG}(S,p) $ に準等長的同型である場合、それが有限核・有限指数の像を持つ準同型をもつという意味で、$ \mathcal{MCG}(S,p) $ に対して準等長的剛性が成り立つか？
• RQ4 $ \Gamma_H = \pi_1(S) \rtimes H $（$ H < \mathcal{MCG}(S) $）という $ \pi_1(S) $ の拡張の構造は、ファイバーを尊重する準等長的写像の群にどのように影響するか？

主な発見

• $ \mathcal{MCG}(S,p) $ のファイバーを尊重する準等長的写像の群は、左作用を介して $ \mathcal{MCG}(S,p) $ 自身と同型であり、すべてのこのような準等長的写像が群の元による左乗法により一様に近いことを意味する。
• 任意の $ K \geq 1 $, $ C \geq 0 $ に対して、ある $ A \geq 0 $ が存在し、すべての $ (K,C) $-準等長的写像 $ \phi: \mathcal{MCG}(S,p) \to \mathcal{MCG}(S,p) $ に対して、すべての $ g \in \mathcal{MCG}(S,p) $ とある $ F \in \mathcal{MCG}(S,p) $ に対して $ d(\phi(g), Fg) \leq A $ を満たす。ここで $ A $ は $ K $, $ C $ および $ S $ の genus のみに依存する。
• すべての $ \mathcal{MCG}(S,p) $ の自己準等長的写像は、ケビン・ワイツの方法（一様有限ホモロジーを用いる）によりファイバーを尊重する。これにより $ \mathrm{QI}_f(\mathcal{MCG}(S,p)) = \mathrm{QI}(\mathcal{MCG}(S,p)) $ が得られる。
• 任意の $ \mathcal{MCG}(S,p) $ に準等長的同型な有限生成群 $ G $ は、有限核と有限指数の像を持つ $ G \to \mathcal{MCG}(S,p) $ の準同型をもつ。これは、写像類群の準等長的剛性予想の重要なケースを確認する。
• 結果は、$ H < \mathcal{MCG}(S) $ が非可約で擬アノソフ要素を含む場合、一般の拡張 $ \Gamma_H = \pi_1(S) \rtimes H $ に拡張可能であり、ファイバーを尊重する準等長的写像の特徴づけはテイヒミュラー空間への作用に基づく。