[論文レビュー] Field of U-invariants of adjoint representation of the group GL(n,K)

K. A. Vyatkina, А. Н. Панов|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、体 K の特徴が 0 であるとき、GL(n,K) の随伴表現の U-不変量の体が有理的であることを確立している。これは、行列の小行列とその余因子行列から導かれる特定の代数的系 J_{k,i} によって生成される。埋め込み L における稠密な開部分集合への埋め込みと、順序付き座標関数に関する帰納法を用いて、これらの不変量が超越基底をなすことを証明し、n² の長いジョルダン・ホルダーシリーズにもかかわらず、U-不変量の体の有理性を解消した。

ABSTRACT

We obtain system of generators of the field of U-invariants of ajoint representation of the group GL(n,K).

研究の動機と目的

• GL(n,K) の随伴表現の U-不変量の体の構造を特定すること。
• 長さ n² のジョルダン・ホルダーシリーズのため、標準的な不変量理論的アルゴリズムを適用することが困難であるという課題を克服すること。
• 体 K(M)^U の U-不変有理関数の代数的独立な生成系を明示的に構成すること。
• この生成系が全体を生成することを証明し、それによってその有理性を確立すること。

提案手法

• GL(n,K) のユニポテンツ上三角行列からなる部分群 U を定義し、n×n 行列の座標環 K[M] 上での随伴作用 ρ_g(f)(A) = f(g⁻¹Ag) を考察する。
• 行列 𝕏 = (x_{ij}) 及びその余因子行列 𝕏* = (x*_{ij}) を定義し、恒等式 𝕏𝕏* = 𝕏*𝕏 = det(𝕏)E を用いる。
• 各 1 ≤ k ≤ n および 0 ≤ i ≤ k−1 に対して、J_{k,i} を 𝕏 の最後の k−i 行と 𝕏* の最初の i 行を組み合わせた混合小行列として定義し、サイズ k の左下隅小行列とする。
• 変換 ρ_u(𝕏) = u⁻¹𝕏u 及び ρ_u(𝕏*) = u⁻¹𝕏*u を用いて、各 J_{k,i} が U-不変であることを、共役作用におけるブロック行列の不変性から示す。
• すべての小行列 J_k ≠ 0 であるようなザリスキ開稠密部分集合 Ω に制限し、さらに b_{j,0} ≠ 0 を満たす下三角行列に類似した行列の部分集合 ℒ に制限する。
• K(M)^U から K(ℒ) への埋め込み π を、不変量を ℒ に制限することによって定義し、ℒ 上の座標関数 {s_{k,i}} が代数的独立であり、K(ℒ) を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(n,K) の随伴表現の U-不変量の体は、有理関数体として明示的に記述可能か？
• RQ2 ユニポテンツ群作用の複雑さにもかかわらず、K(M)^U の代数的独立な生成系をどのように構成できるか？
• RQ3 K(M)^U は有理的か？ もし有理的であれば、何らかの明示的有理関数がそれを生成するか？
• RQ4 行列の小行列と余因子行列の成分は、U-不変有理関数を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• U-不変量の体 K(M)^U は有理的である。すなわち、K の純代数的超越拡張と同型である。
• 集合 {J_{k,i} | 1 ≤ k ≤ n, 0 ≤ i ≤ k−1} は K(M)^U の超越基底をなす。
• 各 J_{k,i} は、行列 𝕏 及びその余因子行列 𝕏* から得られる U-不変有理関数であり、混合小行列として構成される。
• 制限写像 π: K(M)^U → K(ℒ) は埋め込みであり、その像 π(J_{k,i}) は π(J_{k,i}) = φ_{k,i} s_{k,i} + ψ_{k,i} という線形式を満たし、φ_{k,i} ≠ 0 であり、ψ_{k,i} はより小さい座標関数のみを含む。
• ℒ 上の座標関数 {s_{k,i}} は代数的独立であり、K(ℒ) を生成する。また、J_{k,i} の π による像も同様に同じ体を生成する。
• K(M)^U の有理性は、π による生成子の像が K(ℒ) の超越基底をなすという事実から導かれるため、体は有理的である。