[論文レビュー] Fifty Years of Yang-Mills Theory and my Contribution to it

R. Jackiw|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ヤン・ミルズ理論の50年間をレビューし、R. Jackiwがゲージ理論、異常、重力の分野で貢献した点に焦点を当てる。非アーベルゲージ場における座標変換を記述するためのゲージ共変なリー微分を導入し、ゲージ共変性の不一致を解消し、モノポール場や't Hooft-Polyakovモノポールといったゲージ不変な場配置の下で一貫した保存量の定式化を可能にする。

ABSTRACT

On the fiftieth anniversary of Yang-Mills theory, I review the contribution to its understanding by my collaborators and me. Contents: 1.Gauge Theories and Quantum Anomalies; 2.Mathematical Connections; 3. Gauge Field Dynamics other than Yang-Mills; 4. Gauge Formalism for General Relativity Variables; A. Christoffel connection as a gauge potential, B. Gravitational Chern-Simons term from gauge theory Chern-Simons term, C. Coordinate transformations in general relativity and gauge theory, (i) Response to changes in coordinates (ii) Invariant fields and constants of motion. References.

研究の動機と目的

• 非アーベルゲージ理論の運動論的および幾何学的構造を明確にすること、特に座標変換への応答を。
• 標準リー微分がゲージ場に適用された際のゲージ共変性の不一致を解消するため、修正されたゲージ共変なリー微分を導入すること。
• 補償ゲージ変換を可能にするゲージ不変な場配置の基準を確立し、対称系における保存量を導くこと。
• クリストッフェル接続をゲージポテンシャルとして特定し、ゲージ理論的原則から重力のチャーン・シンモンス項を導出することで、形式を重力に拡張すること。

提案手法

• 標準リー微分にゲージ変換を組み合わせた修正されたリー微分 $\bar{\delta}_f$ を導入し、ゲージ共変性を回復する。
• ゲージ共変変換則 $\bar{\delta}_f A_\alpha = f^\beta F_{\beta\alpha}$ を導出し、座標およびゲージ対称性の下で場強度が共変に変換されることを保証する。
• 2つのゲージ共変リー微分の交換子が、ベクトル場のリー括弧に加えて $f^\alpha g^\beta F_{\alpha\beta}$ によって生成されるゲージ変換に閉じることを示し、標準的な閉じる性質を修正する。
• 場強度 $f^\beta F_{\beta\alpha} = \mathcal{D}_\alpha \Phi_f$ を満たすことでゲージ不変な場配置を定義し、$\Phi_f$ をゲージ共変補償場とする。
• モノポール場にこの形式を適用し、保存角運動量にゲージ共変寄与項 $\bf T$ が含まれることを示し、スピンとアイソスピンの混合を生じることを明らかにする。
• スピン接続をローレンツ群におけるゲージポテンシャルとして特定することで、ゲージ理論的チャーン・シンモンス形式から重力のチャーン・シンモンス項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準リー微分がゲージ対称性を保存しないことから、ゲージ共変に座標変換を一貫して記述するにはどうすればよいか？
• RQ2 非不変応答を補償するゲージ変換を許容するゲージ場のためのキリング方程式の正しい一般化は何か？
• RQ3 磁気モノポール場の存在下での保存角運動量は、ゲージ共変ダイナミクスからどのように生じるのか？ また、追加のアイソスピン成分の起源は何か？
• RQ4 重力のチャーン・シンモンス項はゲージ理論的原理から導出可能か？ また、スピン接続におけるゲージ場強度とどのように関係するか？
• RQ5 チャーン・シンモンスカレント $K^\mu$ は、異常、インスタントン、保存量を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 標準リー微分はゲージ理論においてゲージ共変性を保存しない。一貫性を保つためには、修正されたゲージ共変リー微分 $\bar{\delta}_f$ が必要である。
• ゲージ共変リー微分 $\bar{\delta}_f A_\alpha = f^\beta F_{\beta\alpha}$ は、場強度が座標およびゲージ対称性の下で共変に変換されることを保証し、変換則における不一致を解消する。
• 2つのゲージ共変リー微分の交換子は、ベクトル場のリー括弧に加えて $f^\alpha g^\beta F_{\alpha\beta}$ によって生成されるゲージ変換に閉じる。これは、変形された閉じる代数を示している。
• ゲージ場配置が $f^\beta F_{\beta\alpha} = \mathcal{D}_\alpha \Phi_f$ を満たす場合に不変であり、$\Phi_f$ が補償ゲージ変換を表す。これは、ゲージ理論におけるキリング方程式の一般化である。
• 磁気モノポール背景において、保存角運動量には径方向成分 $\hat{\bf r} \cdot \bf a$ が含まれており、これはゲージ共変寄与項 $\bf T$ に対応し、スピンとアイソスピンの混合を引き起こす。
• スピン接続をゲージポテンシャルとして扱うことで、ゲージ理論的チャーン・シンモンス形式から重力のチャーン・シンモンス項が自然に導出され、この項の幾何的起源が得られる。