[論文レビュー] Filtered F-crystals on Shimura varieties of abelian type

Tom Lovering|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特異的レベルにおけるアーベル型の志村多様体の整数的モデル上で、$G$-構造を備えた正規化されたフィルター付き $F$-クリスタルを構成し、$p$-進比較同型を用いて $p$-進エタールコホモロジーのガロア表現がクリスタリンであることを示す。主な貢献は、エタールおよびクリスタリンコホモロジーを $G$-構造を通じて結ぶクリスタリンな標準モデルを確立したことであり、非特異的状況でのガロア表現のクリスタリン性を確認している。

ABSTRACT

In this paper, we define and construct canonical filtered $F$-crystals with $G$-structure over the integral models for Shimura varieties of abelian type at hyperspecial level defined by Kisin. We check that these are related by $p$-adic comparison theorems to the usual lisse sheaves, and as an application we also use this to show that the Galois representations generated from the $p$-adic étale cohomology of Shimura varieties with nontrivial coefficient sheaves are crystalline, at least in the case of proper abelian type Shimura varieties.

研究の動機と目的

• アーベル型志村多様体の整数的モデルに対して、特異的レベルにおける正規化されたフィルター付き $F$-クリスタルと $G$-構造を定義・構成すること。
• これらのフィルター付き $F$-クリスタルと滑らかな $p$-進シーブの間を結ぶ $p$-進比較定理を確立すること。
• 非自明な係数シーブを持つ、非特異的アーベル型志村多様体の $p$-進エタールコホモロジーから得られるガロア表現がクリスタリンであることを示すこと。
• 必要となる比較定理が成り立つものと仮定して、対数クリスタルとコンパクト化を用いて非非特異的状況への拡張を試みること。

提案手法

• Rees構成と $\mathfrak{S}$-加群を用いて、$W(\kappa)$ 上の滑らかな形式的スキーム上にフィルター付き $F$-クリスタルと $G$-構造を定義する。
• Liu-Zhuの非アルキメデス的 de Rham 構成を適用し、整数的モデルの剛体的一般点に de Rham ファイバー関手を定義する。
• 整数的モデル上のフィルター付き $F$-クリスタルと $G$-構造を値とするファイバー関手 $\omega_{crys,x}$ として、クリスタリン標準モデルを構成する。
• $p$-進比較定理に依拠して、エタール、de Rham、クリスタリンなファイバー関手の間の整合性を保証し、コホモロジー実現の間の整合性を確保する。
• 普遍アーベル多様体と相対クリスタリンコホモロジーを用いたホッジ型構成を、$G^{c}$- torsor とヘッケ作用を用いてアーベル型の場合に一般化する。
• 対数クリスタルとトロイダルコンパクト化を用いて、非非特異的状況への一般化を提示するが、対数的設定における比較同型の整合性が成り立つものと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的レベルにおけるアーベル型志村多様体の整数的モデル上に、正規化されたフィルター付き $F$-クリスタルと $G$-構造を構成できるか。
• RQ2 これらのフィルター付き $F$-クリスタルは、$p$-進比較定理を通じて、志村多様体の $p$-進エタールコホモロジーとどのように関係するか。
• RQ3 非自明な係数シーブを持つ、非特異的アーベル型志村多様体の $p$-進エタールコホモロジーから得られるガロア表現はクリスタリンか。
• RQ4 対数クリスタルとコンパクト化を用いて、非非特異的志村多様体への構成を拡張できるか。

主な発見

• 本稿は、特異的レベルにおけるアーベル型志村多様体の整数的モデル上に、フィルター付き $F$-クリスタルと $G$-構造を備えたクリスタリン標準モデルを構成した。
• このモデルは、エタール $G^{c}(\mathbb{Z}_p)$- torsor と整数的に関連づけられており、$p$-進比較定理との整合性を保証する。
• 非自明な係数シーブを持つ非特異的アーベル型志村多様体の $p$-進エタールコホモロジーから得られるガロア表現がクリスタリンであることが示された。
• ホッジ数が $[0,a]$ に含まれる場合、$a+i < p-2$ を満たすと、コホモロジー格子は Fontaine-Laffaille であり、対応する強可除モジュールはフィルター付き $F$-クリスタル $H^i_{crys}(\mathcal{S}_{K^pG(\mathbb{Z}_p)}/W, \mathcal{E}_\rho)$ で与えられる。
• 必要となる比較定理とコンパクト化が存在すると仮定すれば、非非特異的状況への構成は形式的に拡張可能である。
• この枠組みは、対数的クリスタリン比較定理を用いて、非非特異的状況におけるガロア表現のクリスタリン性を示す道筋を示唆している。