[論文レビュー] Finding a Small Number of Colourful Components

Laurent Bulteau, Konrad K. Dabrowski+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、グラフ理論における『カラフル成分』問題の変種である『カラフル分割』問題を導入し、分析している。目的は、高々k個の連結でカラフルな成分（各成分内で色が重複しない）に頂点を分割することである。著者らは、『カラフル成分』問題が非一意に色付けられた頂点数をパラメータとしてパラメータ化した場合、para-NP完全である一方で、『カラフル分割』問題は同じパラメータに関して固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを証明し、両問題間の重要な複雑さの差を確立した。この結果は、非一意に色付けられた頂点の色分割における分岐と補助グラフにおける最大マッチングを用いた、新規なFPTアルゴリズムにより達成された。

ABSTRACT

A partition $(V_1,\ldots,V_k)$ of the vertex set of a graph $G$ with a (not necessarily proper) colouring $c$ is colourful if no two vertices in any $V_i$ have the same colour and every set $V_i$ induces a connected graph. The COLOURFUL PARTITION problem is to decide whether a coloured graph $(G,c)$ has a colourful partition of size at most $k$. This problem is closely related to the COLOURFUL COMPONENTS problem, which is to decide whether a graph can be modified into a graph whose connected components form a colourful partition by deleting at most $p$ edges. Nevertheless we show that COLOURFUL PARTITION and COLOURFUL COMPONENTS may have different complexities for restricted instances. We tighten known NP-hardness results for both problems and in addition we prove new hardness and tractability results for COLOURFUL PARTITION. Using these results we complete our paper with a thorough parameterized study of COLOURFUL PARTITION.

研究の動機と目的

• 『カラフル分割』問題の計算複雑性を調査すること。これはグラフ理論における『カラフル成分』問題の自然な変種である。
• 特に木構造やパラメータが有界なグラフクラスにおいて、『カラフル分割』と『カラフル成分』の複雑さを比較すること。
• 非一意に色付けられた頂点数や頂点被覆サイズといった構造的グラフパラメータを用いて、『カラフル分割』のパラメータ化された tractability 結果を確立すること。
• 最大次数が有界なカラフル木や有界なツリーウィドスをもつグラフにおけるこれらの問題の複雑さに関する未解決の問いを解消すること。

提案手法

• 非一意に色付けられた頂点数をパラメータとして、『カラフル分割』の新規なFPTアルゴリズムを提案。非一意に色付けられた頂点の分割に対する体系的な分岐を用いる。
• グラフを単純化するための削減規則を適用：一意な色を持つ頂点を削除し、同一の色の近傍を持つクリーン（同型）頂点を統合する。
• 接続性制約をモデル化するための補助グラフを構築し、ホプクロフト＝カープのアルゴリズムを用いて最大マッチングを計算する。
• ロバートソンとセイモアの『互いに素な連結部分グラフ』問題をサブルーチンとして適用。これは、端末集合の総サイズが有界であれば立方時間で解ける。
• 非一意に色付けられた頂点の分割における分岐と動的計画法、マッチングに基づく成分構築を組み合わせることで、正しさと効率性を保証する。
• 分割数をO(q^q)に制限し、各部分問題が立方時間で解けることを示すことにより、FPT状態を証明。これにより、全体の実行時間はf(k) * n^O(1)の形になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一意に色付けられた頂点数をパラメータとして、『カラフル分割』はFPTであるが、『カラフル成分』は同じパラメータに関してpara-NP完全である。この点について、両問題の複雑さの違いは何か？
• RQ2 最大次数d（3 ≤ d ≤ 5）のカラフル木において、『カラフル分割』の複雑さは何か？ただし、d = 6の場合は両問題がNP完全であることが既知である。
• RQ3 ツリーウィドス2のグラフにおける2-カラフル分割のFPT結果を、k ≥ 3のk-カラフル分割に拡張可能か？
• RQ4 ツリーウィドス2のグラフにおいて、『カラフル分割』はk（成分数）をパラメータとしてFPTか？
• RQ5 『カラフル成分』と『カラフル分割』が異なるパラメータ化された複雑さを示すグラフ族が存在するか？

主な発見

• 非一意に色付けられた頂点数sをパラメータとして、『カラフル分割』はf(s) * n^O(1)の実行時間でFPTである。ここでfはsにのみ依存する関数である。
• 非一意に色付けられた頂点数をパラメータとして、『カラフル成分』はpara-NP完全である。これにより、両問題間の明確な複雑さのギャップが示された。
• 両問題は複雑さにおいて同等ではない。同じパラメータ下でも、『カラフル分割』は tractable であるが『カラフル成分』は困難であるようなインスタンスが存在する。
• 2色グラフでは、『カラフル分割』と『カラフル成分』の両方が、二部グラフにおける最大マッチングへの還元により多項式時間で解ける。
• 最大次数6、色の多重度2のカラフル木に対しても、問題はNP完全のままである。これは既知の困難性結果を拡張したものである。
• サブルーチンとして用いられた『互いに素な連結部分グラフ』問題は、端末集合の総サイズが有界であれば立方時間で解ける。これにより、『カラフル分割』のFPT結果が可能になった。