[論文レビュー] Finer analysis of characteristic curves and its application to shock profile, exact and optimal controllability of a scalar conservation law with strict convex flux

Adimurthi, Shyam Sundar Ghoshal+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Dafemosの特徴曲線解析を精緻化することで、厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則に対して、エントロピー解のプロファイルおよび正確な可制御性の完全な特徴付けを提供する。明示的なLax-Oleinikの公式と構成的技法を用いて、目標関数の必要条件が十分条件であることを証明し、時間全域における完全な一般性を有する正確かつ最適な可制御性問題を解決する。

ABSTRACT

Here we consider scalar conservation law in one space dimension with strictly convex flux. Goal of this paper is to study two problems. First problem is to know the profile of the entropy solution. In spite of the fact that, this was studied extensively in last several decades, the complete profile of the entropy solution is not well understood. Second problem is the exact controllability. This was studied for Burgers equation and some partial results are obtained for large time. It was a challenging problem to know the controllability for all time and also for general convex flux. In a seminal paper, Dafermos introduces the characteristic curves and obtain some qualitative properties of a solution of a convex conservation law. In this paper, we further study the finer properties of these characteristic curves. As a bi-product we solve these two problems in complete generality. In view of the explicit formulas of Lax - Oleinik, Joseph - Gowda, target functions must satisfy some necessary conditions. In this paper we prove that it is also sufficient. Method of the proof depends highly on the characteristic methods and explicit formula given by Lax - Oleinik and the proof is constructive. This method allows to solve the optimal controllability problem in a trackable way.

研究の動機と目的

• スカラー保存則における厳密に凸なフラックスに対して、エントロピー解プロファイルの完全理解を提供すること。これは、数十年にわたる研究にもかかわらず、依然として不完全に理解されている問題である。
• 時間全域における正確な可制御性問題を解くこと。これは、従来の部分的結果（大時間やBurgers方程式のような特定のケースに限られる）を越えて、一般化された枠組みを提供する。
• Lax-OleinikおよびJoseph-Gowdaの公式から導かれる目標関数の必要条件が、可制御性においても十分条件であることを確立すること。これにより、理論における長年のギャップが埋められる。
• 特徴曲線の性質に基づいて、追跡可能で明示的な方法で最適制御を設計するための構成的技法を開発すること。

提案手法

• スカラー保存則における解の進化の微細な幾何的・動的性質を分析するため、Dafemosの特徴曲線フレームワークを精緻化する。
• Lax-OleinikおよびJoseph-Gowdaの明示的公式を活用して、解プロファイルおよび目標関数の制約を特徴付ける。
• 望ましい目標状態から初期状態へと遡る特徴曲線をトレースすることで、制御入力を明示的に構成する。
• フラックスの厳密な凸性を用いて、特徴曲線の一意性と正則性を保証し、精密な制御設計を可能にする。
• 特徴曲線の逆写像を用いて、目標関数を許容可能な初期データにマッピングすることで、解プロファイルと可制御性の双対性を確立する。
• 特徴曲線の軌道を用いた可逆なマッピングにより、目標から初期データへの構成的かつ可逆な写像を示し、必要条件の十分性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則におけるエントロピー解プロファイルの完全な構造は何か？
• RQ2 可制御性問題における目標関数の必要条件は、正確な可制御性においても十分条件であるか？
• RQ3 正確かつ最適な可制御性は、時間全域で達成可能であり、漸近的または特殊ケースに限定されないか？
• RQ4 特徴曲線は、スカラー保存則における制御入力の構成的設計にどのように利用可能か？
• RQ5 凸フラックス保存則におけるプロファイル解析と可制御性を統合する一般枠組みは存在するか？

主な発見

• 本稿は、Lax-OleinikおよびJoseph-Gowdaの公式から導かれる目標関数の必要条件が、正確な可制御性においても十分条件であることを確立した。
• 特徴曲線の精緻な解析を通じて、エントロピー解プロファイルの完全かつ明示的な特徴付けが達成された。
• 最適可制御問題に対する構成的解法が提供され、望ましい目標状態を達成する初期データの明示的計算が可能になった。
• フレームワークは、Burgers方程式に限らず、すべての厳密に凸なフラックスを有するスカラー保存則に普遍的に適用可能である。
• 解法は追跡可能であり、後退的特徴曲線による可逆写像に基づいており、計算の実行可能性が保証される。
• 本結果は、凸フラックス設定下における時間全域の正確な可制御性およびプロファイルの完全性に関する長年の未解決問題を解決した。