[論文レビュー] Finite cyclic group actions with the tracial Rokhlin property

N. Christopher Phillips|ArXiv.org|Sep 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における有限巡回群作用のトレーシング・ロフリン性質を調査し、特にAFおよびAT代数に対して、そのような作用が、K₀に torsion があるか、K₁が非自明な場合でさえ、AFでない交叉積を生じうることを示している。トレーシング・ロフリン性質が厳密なロフリン性質を意味しないこと、およびトレーシング的近似的代表性がK₀やK₁に自明性を保証しないことの反例を提示し、分野における以前の結果の強化を挑戦する。

ABSTRACT

We give examples of actions of Z/2Z on AF algebras and AT algebras which demonstrate the differences between the (strict) Rokhlin property and the tracial Rokhlin property, and between (strict) approximate representability and tracial approximate representability. Specific results include the following. We determine exactly when a product type action of Z/2Z on a UHF algebra has the tracial Rokhlin property; in particular, unlike for the strict Rokhlin property, every UHF algebra admits such an action. We prove that Blackadar's action of Z/2Z on the 2^{\infty} UHF algebra, whose crossed product is not AF because it has nontrivial K_1-group, has the tracial Rokhlin property, and we give an example of an action of Z/2Z on a simple unital AF algebra which has the tracial Rokhlin property and such that the K_0-group of the crossed product has torsion. In particular, the crossed product of a simple unital AF algebra by an action of Z/2Z with the tracial Rokhlin property need not be AF. We give examples of a tracially approximately representable action of Z/2Z on a simple unital AF algebra which is nontrivial on K_0, and of a tracially approximately representable action of Z/2Z on a simple unital AT algebra with real rank zero which is nontrivial on K_1.

研究の動機と目的

• C*-代数における群作用における厳密なロフリン性質とトレーシング・ロフリン性質の違いを明確化すること。
• 有限群作用の文脈において、厳密な近似的代表性とトレーシング的近似的代表性の違いを調査すること。
• AFおよびAT代数に対してトレーシング・ロフリン性質を満たす作用の明示的構成を行い、その交叉積が torsion を持つ、またはK₁が非自明な非AFとなる例を提示すること。
• トレーシング・ロフリン性質を用いた交叉積において、構造的性質（例えば、実数階数0、安定階数1）が保存されるかどうかの頑健性を検証すること。
• 双対作用の振る舞いとトレーシング的設定における双対性の失敗を、特にK理論および近似的内自己同型の観点から検討すること。

提案手法

• スペクトル射影とトレース制御に基づくトレーシング・ロフリン性質の新しい基準を導入し、製品型作用に適用可能であることを示す。
• UHF代数、AF代数、AT代数に対する作用の明示的構成を用い、特にZ/2Z作用に焦点を当てる。
• K理論的道具（K₀およびK₁群）を用いて、特に torsion と非自明性を検出することを目的とした交叉積の構造を分析する。
• BlackadarのUHF代数の例を変更して、特定のK理論的結果を交叉積で実現する。
• 双対作用を分析し、元の作用と比較して、ロフリン性質および近似的代表性に関する性質を検証する。
• トレースに基づく射影の比較と安定性条件を用いて、交叉積の構造的性質を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UHF代数における作用に対して、トレーシング・ロフリン性質は、必ずしも厳密なロフリン性質を意味するか？
• RQ2 単純ユニタルAF代数のZ/2Z作用がトレーシング・ロフリン性質を満たす場合、K₀に torsion があるにもかかわらず、その交叉積がAFでないことは可能か？
• RQ3 トレーシング的近似的代表的作用が、K₀やK₁に対して非自明であることは可能か？
• RQ4 トレーシング・ロフリン性質を満たす作用の双対作用は、必ずしもトレーシング・ロフリン性質を満たすとは限らないか？
• RQ5 元の作用が厳密なロフリン性質を満たす場合でも、トレーシング的近似的内自己同型がK₀やK₁に対して非自明であることは可能か？

主な発見

• すべてのUHF代数は、Z/2Zの製品型作用をもち、トレーシング・ロフリン性質を満たすが、厳密なロフリン性質はより制限的である。
• Blackadarの2^∞ UHF代数におけるZ/2Z作用は、交叉積で非自明なK₁を持つが、トレーシング・ロフリン性質を満たす。
• 単純ユニタルAF代数におけるトレーシング・ロフリン性質を満たす作用は、K₀にZ/2ⁿZの torsion を含む交叉積を生じうる。
• 単純ユニタルAF代数におけるトレーシング的近似的代表的作用はK₀に対して非自明であり、実数階数0のAT代数ではK₁に対しても非自明である。
• トレーシング・ロフリン性質を満たす作用の双対作用が、必ずしもトレーシング・ロフリン性質を満たすとは限らない。たとえ元の作用と交叉積がともに単純AF代数であっても同様である。
• 単純AF代数におけるトレーシング・ロフリン性質を満たす作用であっても、その交叉積が再びAFとなる例が存在するが、その作用はトレーシング・ロフリン性質を満たさない。これは、AF交叉積のためにはトレーシング・ロフリン性質が必要ではないことを示している。