[論文レビュー] Finite difference method for a fractional porous medium equation

Félix del Teso|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数階ラプラシアン（1/2階）を伴う分数マスドレイン方程式を解くための有限差分法を提案する。Caffarelli-Silvestre拡張を用いて非局所問題を1次元高い次元における局所問題に変換する。この方法により、解の存在・一意性および真の解への収束が証明され、数値実験により2次収束率が確認され、重い尾を持つ解の正確な捉え方も得られた。

ABSTRACT

We formulate a numerical method to solve the porous medium type equation with fractional diffusion \[\frac{\partial u}{\partial t}+(-Δ)^{1/2} (u^m)=0.\] The problem is posed in $x\in \mathbb{R}^N$, $m\geq 1$ and with nonnegative initial data. The fractional Laplacian is implemented via the so-called Caffarelli-Silvestre extension. We prove existence and uniqueness of the solution of this method and also the convergence to the theoretical solution of the equation. We run numerical experiments on typical initial data.

研究の動機と目的

• 分数階ラプラシアン（-Δ）^1/2 を伴う分数マスドレイン方程式に対する安定な数値スキームの開発を目的とする。
• 分数拡散における非局所性の挑戦に応えるために、Caffarelli-Silvestre拡張を用いて高次元における局所問題に変換する。
• 最大原理を用いて、有限差分解の存在・一意性および収束を証明する。
• さまざまな初期データ（Diracデルタ関数や compact な台を持つ関数を含む）に対する数値実験を通じて、手法の妥当性を検証する。
• u^m 以外の一般な単調非線形性 φ(u) に対しても、対応を拡張する。特に対数拡散を極限ケースとして含む。

提案手法

• 分数ラプラシアンは Caffarelli-Silvestre 拡張を用いて実装され、非局所問題が R^N × R^+ 上の局所的境界値問題に変換される。
• 拡張された問題は、有界領域 Ω = (-X,X)^N × (0,Y) で数値的に解かれ、側面境界 Γ_h で同次ディリクレ境界条件が設定される。
• 拡張方程式に有限差分スキームを適用し、時間方向には半陽的時間分割を、空間方向には中央差分を用いる。
• 時間発展は、正値性を保ち、離散的最大原理を満たす単調スキームにより処理される。
• 一般の φ(u) への拡張は、φ とその逆関数を用いて時間微分条件を再定式化することで実現される。
• 収束は離散的最大原理と安定性評価を用いて証明され、誤差解析は細分化されたグリッドと m=1 の場合の正確解を用いて実施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階ラプラシアン（-Δ）^1/2 を伴う分数マスドレイン方程式に対して、収束性と安定性を保証する有限差分法を構築可能か？
• RQ2 Caffarelli-Silvestre 拡張は、非局所問題の実用的数値解法をどのように可能にするか？
• RQ3 m の値や初期データに応じて、提案された有限差分スキームの収束速度はどの程度か？
• RQ4 一般の非線形性 φ(u)、特に対数拡散を極限ケースとして含む場合にも、この手法を拡張可能か？
• RQ5 この手法は、分数拡散を伴うマスドレイン方程式に特徴的な重い尾を持つ解をどれほど正確に捉えられるか？

主な発見

• 離散的最大原理を用いて、有限差分法が離散解の存在・一意性を証明した。
• メッシュサイズ Δx と時間ステップ Δt が 0 に近づくにつれ、この方法は真の分数マスドレイン方程式の解に収束することが示された。
• 数値実験により、2次収束率が確認された：m=1 の場合、200ノードグリッド上で Δx が 1 から 0.25 に減少するに従い、誤差は 0.011 から 0.00043 に減少した。
• m=2 の場合、同様のグリッド細分化において誤差は 0.0277 から 0.00085 に減少し、減衰が遅いものの収束が確認された。
• この手法は、特に m が小さい場合に顕著な重い尾の振る舞いを正確に捉えており、m=1 および m=10 の場合に Barenblatt プロファイルを再現した。
• φ(u) = log(u+1) に対しても、一般な単調非線形性に対して堅牢であることが示され、拡張が成功した。