[論文レビュー] Finite difference schemes for multi-term time-fractional mixed diffusion-wave equations

Zhaopeng Hao, Guang Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、(1,2)に属する指数のCaputo微分を用いた多項式時間分数マックスウェル拡散波方程式に対して、1次精度のL2型有限差分スキームを提案する。修正されたL2近似とコンパクト差分スキームを組み合わせ、エネルギー法を用いることで、時間方向で1次精度、空間方向で4次精度の無条件収束を証明した。数値例による検証と、線形対数時間計算量を有する高速解法により有効性が裏付けられた。

ABSTRACT

The multi-term time-fractional mixed diffusion-wave equations (TFMDWEs) are considered and the numerical method with its error analysis is presented in this paper. First, a $L2$ approximation is proved with first order accuracy to the Caputo fractional derivative of order $β\in (1,2).$ Then the approximation is applied to solve a one-dimensional TFMDWE and an implicit, compact difference scheme is constructed. Next, a rigorous error analysis of the proposed scheme is carried out by employing the energy method, and it is proved to be convergent with first order accuracy in time and fourth order in space, respectively. In addition, some results for the distributed order and two-dimensional extensions are also reported in this work. Subsequently, a practical fast solver with linearithmic complexity is provided with partial diagonalization technique. Finally, several numerical examples are given to demonstrate the accuracy and efficiency of proposed schemes.

研究の動機と目的

• 異常拡散のモデル化において重要であるが、研究がまだ十分に進んでいない(1,2)に属する分数マーチャル次数を有する多項式時間分数混合拡散波方程式（TFMDWEs）に対して、安定かつ高精度な数値解法を構築すること。
• 分数マーチャル微分に起因する非局所性と記憶要件の課題に対処し、厳密な誤差解析を伴う安定で高精度な有限差分スキームを構築すること。
• 本手法を分布的次数方程式および2次元問題に拡張し、広範な適用可能性を確保すること。
• 部分的対角化を用いてToeplitz構造を持つ線形システムを効率的に解くことにより、線形対数時間計算量を達成する高速解法を設計すること。
• エネルギー法を用いた包括的な誤差解析により、無条件収束性と安定性を確立すること。

提案手法

• 指数β ∈ (1,2)のCaputo分数マーチャル微分に対して、修正されたL2近似を導出することで、時間方向に1次精度を達成する。
• 修正L2近似と低次の微分項に対するL1近似を組み合わせ、完全陰的コンパクト有限差分スキームを構築する。
• 離散系にエネルギー法を適用し、新規の離散分数マーチャル＝フレドリクス＝ソボレフ不等式を用いて安定性および収束性を確立する。
• 線形システムのToeplitz構造を活かし、部分的対角化に基づく高速解法を開発し、O(N log N)の計算量を達成する。
• 本手法を次数が(0,2)に属する分布的次数方程式および2次元問題に拡張し、高次精度を維持する。
• 1次元および2次元問題における理論的収束率の妥当性を検証するため、数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数(1,2)に属するCaputo分数マーチャル微分に対して、1次精度のL2型近似を厳密に導出できるか？
• RQ2 多項式時間分数混合拡散波方程式に対して、コンパクト有限差分スキームを構築し、無条件収束性を証明できるか？
• RQ3 本スキームの収束速度は時間方向および空間方向でどの程度であり、エネルギー法を用いて証明可能か？
• RQ4 本スキームから生じる線形システムに対して、線形対数時間計算量を達成する高速解法を設計できるか？
• RQ5 本スキームは分布的次数方程式および2次元問題において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 修正L2近似が、指数β ∈ (1,2)のCaputo微分に対して1次精度を達成することを証明し、厳密な誤差評価を示した。
• エネルギー法を用いて、コンパクト有限差分スキームが時間方向1次精度、空間方向4次精度で無条件収束することを証明した。
• 離散分数マーチャル＝フレドリクス＝ソボレフ不等式が確立され、収束証明において中心的な役割を果たした。
• 数値結果により、1次元および2次元問題において理論的収束率が確認された。
• O(N log N)の計算量を持つ高速解法が成功裏に実装され、従来の解法と比較して計算コストを顕著に低減した。
• 次数が(0,2)に属する分布的次数方程式に対しても、本スキームは強固な性能を示し、広範な適用可能性を確認した。