[논문 리뷰] Finite difference/spectral approximations for the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation

Yu Fan, Minghua Chen|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 02.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 시간 Caputo-Fabrizio 분수형 확산 방정식을 위한 세 차수 정확도를 가지며 조건부 안정성이 없는 유한차분/스펙트럼 방법을 제시한다. 시간에 대해 세 차수 유한차분 방법을 사용하고 공간에 대해 스펙트럼 이산화를 조합함으로써, 전역 절단 오차는 $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$를 달성하며, 이는 이 맥락에서 세 차수 방법에 대한 안정성에 대한 첫 번째 증명이다.

ABSTRACT

The main contribution of this work is to construct and analyze stable and high order schemes to efficiently solve the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. Based on a third-order finite difference method in time and spectral methods in space, the proposed scheme is unconditionally stable and has the global truncation error $\mathcal{O}(τ^3+N^{-m})$, where $τ$, $N$ and $m$ are the time step size, polynomial degree and regularity in the space variable of the exact solution, respectively. It should be noted that the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+N^{-m})$ is well established in [ Li, Lv and Xu, {\em Numer. Methods Partial Differ. Equ}. (2019)]. Finally, some numerical experiments are carried out to verify the theoretical analysis. To the best of our knowledge, this is the first proof for the stability of the third-order scheme for the Caputo-Fabrizio fractional operator.

연구 동기 및 목표

• 두 차원 시간 Caputo-Fabrizio 분수형 확산 방정식을 위한 고차수, 조건부 안정성이 없는 수치적 방법을 개발한다.
• 기존의 두 차수 방법을 시간에 대해 세 차수 정확도로 확장하면서도 안정성을 유지한다.
• Caputo-Fabrizio 분수형 미분 연산자에 대한 세 차수 시간 이산화에 대한 첫 번째 엄밀한 안정성 증명을 제공한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도를 검증한다.

제안 방법

• 시간 방향에 세 차수 유한차분 방법을 적용하여 시간에 대한 고차수 정확도를 확보한다.
• 스펙트럼 방법을 공간에 적용하여 매끄러운 해에 대해 높은 정확도를 활용하며, 수렴 속도는 해의 정칙성에 따라 달라진다.
• 공간 이산화에서는 일반적으로 레전드르 또는 체비셰프 다항식에 기반한 스펙트럼 콜로케이션 접근법을 사용한다.
• 유도된 완전 이산화 방법은 에너지 방법 또는 행렬 분석을 통해 조건부 안정성이 없음을 증명한다.
• 전역 절단 오차는 이론적으로 $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$로 유도되며, 여기서 $τ$는 시간 스텝, $N$은 다항식 차수, $m$은 해의 정칙성이다.
• 이 방법은 구현되어 수치 실험을 통해 이론적 수렴 차수를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원 Caputo-Fabrizio 분수형 확산 방정식에 대해 세 차수 시간 이산화를 구성하고 안정성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 이러한 고차수 방법의 전역 수렴 속도는 시간과 공간 양쪽에서 어떻게 되는가?
• RQ3 스펙트럼 공간 이산화가 전체 정확도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법은 시간 스텝 크기와 다항식 차수의 변화에 대해 안정성을 유지하는가?
• RQ5 기준 문제를 통해 이론적 오차 한계를 수치적으로 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 전역 절단 오차 $\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$를 달성하여 시간에 대해 세 차수 정확도, 공간에 대해 스펙트럼 정확도를 확보한다.
• 이 방법은 조건부 안정성이 없음을 증명되었으며, 이는 이전 연구에서 두 차수 방법에 국한된 것과 비교해 중요한 발전이다.
• Caputo-Fabrizio 분수형 미분 연산자에 대한 세 차수 시간 이산화에 대한 첫 번째 엄밀한 안정성 증명이 확립되었다.
• 수치 실험을 통해 시간 및 공간 변수에서 이론적 수렴 속도가 확인되었다.
• 다양한 매개변수 설정에서 안정성을 유지하면서도 저차수 방법보다 정확도가 뛰어나다.
• 시간에 대해 고차수 유한차분과 공간에 대해 스펙트럼 방법을 조합한 방법이 분수형 확산 문제에 효과적임을 검증하였다.