[論文レビュー] Finite Dimensional Pointed Hopf Algebras with Abelian Coradical and Cartan matrices

Nicolás Andruskiewitsch, H.J. Schneider|ArXiv.org|Jun 12, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、関連するヤッター＝ドリンフェルド加群の braiding に関連する一般化されたカルタン行列を導入することで、奇素数位数のアーベル的コラディカルをもつ有限次元点付きホップ代数を分類する。この論文は、このようなホップ代数が有限次元であるための必要十分条件が、そのカルタン行列が有限カルタン型であることであることを証明し、新たなタイプの点付きホップ代数を構成するとともに、コラディカルが素数次元 p をもつ一次生成の点付きホップ代数を完全に分類する。

ABSTRACT

In a previous work \cite{AS2} we showed how to attach to a pointed Hopf algebra A with coradical $\kΓ$, a braided strictly graded Hopf algebra R in the category $_Γ^Γ\Cal{YD}$ of Yetter-Drinfeld modules over $Γ$. In this paper, we consider a further invariant of A, namely the subalgebra R' of R generated by the space V of primitive elements. Algebras of this kind are known since the pioneering work of Nichols. It turns out that R' is completely determined by the braiding c:V\otimes V o V \otimes V. We denote R' = B(V). We assume further that $Γ$ is finite abelian. Then c is given by a matrix (b_{ij}) whose entries are roots of unity; we also suppose that they have odd order. We introduce for these braidings the notion of "braiding of Cartan type" and we attach a generalized Cartan matrix to a braiding of Cartan type. We prove that B(V) is finite dimensional if its corresponding matrix is of finite Cartan type and give sufficient conditions for the converse statement. As a consequence, we obtain many new families of pointed Hopf algebras. When $Γ$ is a direct sum of copies of a group of prime order, the conditions hold and any matrix is of Cartan type. As a sample, we classify all the finite dimensional pointed Hopf algebras which are coradically graded, generated in degree one and whose coradical has odd prime dimension p. We also characterize coradically graded pointed Hopf algebras of order p^4, which are generated in degree one.

研究の動機と目的

• 奇素数指数の有限アーベル群の群代数をコラディカルとする有限次元点付きホップ代数を分類すること。
• コラディカルがアーベル的である有限次元点付きホップ代数に対して「カルタン型の braiding 」の概念を導入すること。
• 関連する一般化されたカルタン行列の有限カルタン型であることと、ニコルズ代数 B(V) の有限次元性との対応関係を確立すること。
• 関連ホップ代数が有限次元であるための十分条件を提示し、従来の点付きホップ代数に関する結果を拡張すること。
• 一次生成かつコラディカルに沿った次数付きであるような、位数 p^4 の点付きホップ代数を特徴づけること。

提案手法

• 論文は、点付きホップ代数の構造論を用い、コラディカルフィルトレーションを介して分解し、関連する次数付きホップ代数に注目する。
• 空間 V（原始的元の空間）によって生成されるブレーデッドホップ代数 R' = B(V)、つまりニコルズ代数を構成する。この代数は完全に braiding c: V⊗V → V⊗V によって決定される。
• braiding は、奇数位数の単位根からなる行列 (b_{ij}) によって符号化され、この行列が特定の対称性および整数性条件を満たすとき、「カルタン型の braiding 」と定義される。
• 各々のこのような braiding に対して一般化されたカルタン行列を関連付ける。論文は、B(V) が有限次元であることと、この行列が有限カルタン型であることとが同値であることを証明する。
• 著者たちは、群 Γ におけるヤッター＝ドリンフェルド加群の理論を用いて、braided 圈および $_{\Gamma}^{\Gamma}\mathcal{YD}$ 圈における R の構造を分析する。
• 特に Γ が奇素数 p に対する Z/pZ のコピーの直和である場合、すべての braiding はカルタン型であるため、このようなホップ代数の完全な分類が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コラディカルがアーベル的である有限次元点付きホップ代数に対して、関連するニコルズ代数 B(V) が有限次元であるのはいつか？
• RQ2 braiding 行列 (b_{ij}) にどのような条件を課すと、関連ホップ代数が有限次元になるか？
• RQ3 有限次元点付きホップ代数の braiding に対して、一般化されたカルタン行列をどのように関連付けるか？
• RQ4 コラディカルが奇素数位数 p をもつ有限次元点付きホップ代数で、一次生成かつコラディカルに沿った次数付きであるものはどれか？
• RQ5 コラディカルが指数 p のアーベル群の群代数に同型である有限次元点付きホップ代数が、必ずしも群的および斜代数的元によって生成されるのはどのような条件下か？

主な発見

• ニコルズ代数 B(V) が有限次元であることと、その関連する一般化されたカルタン行列が有限カルタン型であることとは同値である。
• 任意の奇素数位数 p の有限アーベル群 Γ に対して、V 上のすべての braiding はカルタン型であるため、このようなホップ代数の完全な分類が可能になる。
• コラディカルが奇素数位数 p をもち、一次生成である有限次元点付きホップ代数はすべて分類されており、それらはすべてコラディカルに沿った次数付きである。
• 一次生成かつコラディカルに沿った次数付きであるような、位数 p^4 のコラディカルに沿った次数付き点付きホップ代数は、そのカルタン行列および braiding 構造に基づいて完全に特徴づけられる。
• コラディカルが指数 p のアーベル群の群代数に同型である有限次元点付きホップ代数は、必ず群的および斜代数的元によって生成される。