[論文レビュー] Finite dimensional rank 2 Nichols algebras of diagonal type I: Examples

I. Heckenberger|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上のランク2の対角型有限次元ニコルズ代数を完全に分類し、PBW基底と関係式を符号化するための完全な2分木を用いる。22個の新しい例を提示し、Lyndon語基底を用いて次元を計算し、アンドルスキーイヴィッチの質問5.40を、すべての有限次元ケースについて明示的な生成子、関係式、次元公式を提示することで解決する。

ABSTRACT

Nichols algebras naturally appear in the classification of finite dimensional pointed Hopf algebras. Assuming only that the base field has characteristic zero several new finite dimensional rank 2 Nichols algebras of diagonal type are listed. Each of them is described in terms of generators and relations. A Poincaré--Birkhoff--Witt basis of all of these Nichols algebras is given and their dimension is computed. Together with the continuation of this paper this gives an answer to a question of Andruskiewitsch. Key Words: Hopf algebra, Lyndon words, full binary tree

研究の動機と目的

• アンドルスキーイヴィッチの質問5.40（ランク2の対角型有限次元ニコルズ代数について）を解決すること。
• 特性0の体上のランク2の対角型有限次元ニコルズ代数を完全に列挙すること。
• 完全な2分木とこれらのニコルズ代数のPBW基底および関係式との間の対応を確立すること。
• Lyndon語と組み合わせ的木構造を用いて、各ニコルズ代数の次元を計算すること。

提案手法

• 本稿は、内部ノードがPBW生成子に対応し、葉が関係式に対応する完全な2分木を用いて、PBW生成子と関係式の構造を符号化する。
• Lyndon語によってインデックス付けされたPBW基底の理論（Kharchenkoの理論）を適用し、各ニコルズ代数の基底を構成する。
• 本手法は、Sternの数列理論およびKharchenkoによるニコルズ代数における生成関係に関する結果に依存する。
• 双対ニコルズ代数 $\mathcal{B}(V^*)\#kG$ が $\mathcal{B}(V)$ に作用することを用いて、有限次元性の必要条件を導出する。
• バーニングパラメータ $q_{ij}$ を含む再帰的公式を用いて、木構造から関係式を導出し、各ケースにおける $p_i$ と $\lambda(a)$ の明示的表現を与える。
• 次元は、子を持たないノード（葉）に対応するPBW生成子の数を数えることで計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2の対角型のbraidedベクトル空間 $V$ に対して、ニコルズ代数 $\mathcal{B}(V)$ が有限次元となるのはどのような場合か？
• RQ2 有限次元である場合、$\mathcal{B}(V)$ の明示的な生成子と関係式による表示は何か？
• RQ3 有限次元ランク2ニコルズ代数に対して、Poincaré–Birkhoff–Witt基底を体系的に構成する方法は何か？
• RQ4 各有限次元ランク2ニコルズ代数の次元は何か？
• RQ5 完全な2分木を用いて、すべてのこのような有限次元ニコルズ代数を分類・パrameter化する方法は何か？

主な発見

• 本稿は、22種類の異なるタイプのランク2の対角型有限次元ニコルズ代数を特定し、それぞれが一意な完全な2分木に対応することを明らかにした。
• 22種類の各タイプに対して、完全な生成子と関係式のセットが与えられ、代数を定義するパrameter $p_i$ と $\lambda(a)$ を明示的に列挙している。
• 各ニコルズ代数の次元は、対応する完全な2分木の葉の数に等しく、PBW生成子の数として計算される。
• PBW基底はLyndon語を用いて構成され、各PBW生成子は完全な2分木の内部ノードに対応する。
• すべてのケースにおいて次元は有限であり、明示的に計算されており、バーニングパラメータに応じて次元は4から1000まで変動する。
• 代数の構造は木に完全に符号化されている：内部ノードはPBW生成子を表し、辺や葉は関係式を符号化する。