[論文レビュー] Finite groups whose $n$-maximal subgroups are $σ$-subnormal

Wenbin Guo, Alexander N. Skiba|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、すべての$n$-極大部分群が$\sigma$-部分正規であるような有限可解群を調査し、$\sigma$-冪零長さ$l_\sigma(G)$、群のランク$r(G)$、および異なる素因数の個数$|\pi(G)|$をバインドするための不変量$m_\sigma(G)$を導入する。主な貢献は、$m_\sigma(G) = |\pi(G)|$が特定の構造的クラスの$\sigma$-可解群を特徴づけることの確立であり、既知の冪零性および部分群埋め込み性質に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $σ=\{σ_{i} | i\in I\}$ be some partition of the set of all primes $\Bbb{P}$. A set ${\cal H}$ of subgroups of $G$ is said to be a \emph{complete Hall $σ$-set} of $G$ if every member $ e 1$ of ${\cal H}$ is a Hall $σ_{i}$-subgroup of $G$, for some $i\in I$, and $\cal H$ contains exact one Hall $σ_{i}$-subgroup of $G$ for every $σ_{i}\in σ(G)$. A subgroup $H$ of $G$ is said to be: \emph{$σ$-permutable} or \emph{$σ$-quasinormal} in $G$ if $G$ possesses a complete Hall $σ$-set set ${\cal H}$ such that $HA^{x}=A^{x}H$ for all $A\in {\cal H}$ and $x\in G$: \emph{$σ$-subnormal} in $G$ if there is a subgroup chain $A=A_{0} \leq A_{1} \leq \cdots \leq A_{t}=G$ such that either $A_{i-1} rianglelefteq A_{i}$ or $A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$ is a finite $σ_{i}$-group for some $σ_{i}\in σ$ for all $i=1, \ldots t$. If each $n$-maximal subgroup of $G$ is $σ$-subnormal ($σ$-quasinormal, respectively) in $G$ but, in the case $ n > 1$, some $(n-1)$-maximal subgroup is not $σ$-subnormal (not $σ$-quasinormal, respectively)) in $G$, we write $m_σ(G)=n$ ($m_{σq}(G)=n$, respectively). In this paper, we show that the parameters $m_σ(G)$ and $m_{σq}(G)$ make possible to bound the $σ$-nilpotent length $ \ l_σ(G)$ (see below the definitions of the terms employed), the rank $r(G)$ and the number $|π(G)|$ of all distinct primes dividing the order $|G|$ of a finite soluble group $G$. We also give conditions under which a finite group is $σ$-soluble or $σ$-nilpotent, and describe the structure of a finite soluble group $G$ in the case when $m_σ(G)=|π(G)|$. Some known results are generalized.

研究の動機と目的

• すべての$n$-極大部分群が$\sigma$-部分正規であるような有限可解群を特徴づけること。
• 不変量$m_\sigma(G)$を用いて、$\sigma$-冪零長さ$l_\sigma(G)$、ランク$r(G)$、素因数の個数$|\pi(G)|$をバインドすること。
• 有限群が$\sigma$-可解または$\sigma$-冪零であるための条件を特定すること。
• $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$のとき、有限可解群の構造を記述すること。

提案手法

• $\sigma$-部分正規部分群を、各因子が正規または$\sigma$-素性である部分群の鎖を用いて定義する。
• $m_\sigma(G)$を、すべての$n$-極大部分群が$\sigma$-部分正規であるが、ある$(n-1)$-極大部分群はそうではないような最大の$n$として定義する。
• 完全なハル$\sigma$-集合と$\sigma$-準正規性を用いて、部分群の埋め込みと正規構造を分析する。
• 既約対に関する結果、ニルポテンシーに関するトンプソンの定理、および可解群におけるSylow部分群の性質を適用する。
• $\sigma$-可解群の構造を活用して、$m_\sigma(G)$を用いて$l_\sigma(G)$と$|\pi(G)|$の境界を確立する。
• $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ならば特定の群構造が得られることを証明し、既知の冪零性および$S$-準正規性に関する結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$のとき、有限可解群$G$の構造はいかなるものか？
• RQ2 $m_\sigma(G)$は$\sigma$-冪零長さ$l_\sigma(G)$と群のランク$r(G)$とどのように関係するか？
• RQ3 $n$-極大部分群の性質に基づいて、有限群が$\sigma$-可解または$\sigma$-冪零であるための条件は何か？
• RQ4 $m_\sigma(G)$と$\sigma$-スパーンサー高さ$h_\sigma(G)$の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $\sigma$-冪零長さ$l_\sigma(G)$は$m_\sigma(G)$によって上からバインドされ、特定の条件下では等号が成立する可能性がある。
• 異なる素因数の個数$|\pi(G)|$は$m_\sigma(G)$によって上からバインドされ、$G$が$\sigma$-冪零であるか、特定の構造的条件を満たすときかつそのときに限り等号が成立する。
• $G$が$\sigma$-可解であり$\sigma$-冪零でないならば、$|\pi(G)| \leq m_\sigma(G)$が成り立つ。
• $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$のとき、群$G$は$\sigma$-部分正規$n$-極大部分群とSylow部分群の性質の相互作用によって特徴づけられる一意な構造を持つ。
• 不変量$m_\sigma(G)$は古典的冪零基準の一般化を提供する：$m_\sigma(G) < |\pi(G)|$ならば、$G$は$\sigma$-冪零である。
• 本稿はスパーンサーの結果を一般化する：$h_\sigma(G) < |\pi(G)|$ならば$G$は$\sigma$-冪零であり、$l_\sigma(G) \leq h_\sigma(G)$が成り立つ。