[論文レビュー] Finite order automorphisms and real forms of affine Kac-Moody algebras in the smooth and algebraic category

Ernst Heintze, Christian Groß|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかなアフィン Kac-Moody代数の有限位数自己同型および実形式を、基礎となる有限次元単純リー代数における自己同型の曲線に帰着させることで分類する。同型写像が滑らかな微分同相写像と滑らかな自己同型の曲線によってパラメトライズされることを確立し、そのような曲線から得られる不変量を用いて、対称空間のCartan分類を無限次元のアフィン Kac-Moody代数に拡張した完全な自己同型および実形式の分類を提供する。

ABSTRACT

Automorphisms of finite order and real forms of "smooth" affine Kac-Moody algebras are studied, i.e. of 2-dimensional extensions of the algebra of smooth loops in a simple Lie algebra. It is shown that they can be parametrized by certain invariants and that in particular the classification of involutions essentially follows from Cartan's classifications in finite dimensions. We also prove that our approach works equally well in the usual algebraic setting and leads to the same results there.

研究の動機と目的

• 滑らかかつ代数的カテゴリーにおける滑らかなアフィン Kac-Moody代数の有限位数自己同型および実形式を分類すること。
• アフィン Kac-Moody代数の無限次元的設定において、対称空間のCartan分類を拡張すること。
• ループ代数と Kac-Moody代数の同型写像と、有限次元リー代数における滑らかな自己同型の曲線との間の対応関係を確立すること。
• コンパクトおよび複素滑らかなアフィン Kac-Moody代数の自己同型および実形式を完全に分類すること。
• 実形式の分類が Aut(𝔤) 内の自己同型の中心化部分群の連結成分といった位相的不変量とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 滑らかなアフィン Kac-Moody代数の自己同型の研究を、有限次元単純リー代数 𝔤 における自己同型の曲線に還元する。
• Burnsideの定理を用いて、すべての-twisted ループ代数間の同型写像が標準的であることを証明する。すなわち、微分同相写像 λ と滑らかな自己同型の曲線 φₜ によって誘導される。
• λ の挙動に基づき、自己同型を第一種（向きを保つ、ε=1）および第二種（向きを反転させる、ε=−1）に分類する。
• 同型写像が Kac-Moody代数へ拡張可能であるための必要十分条件として、λ(t) = εt + t₀（ε = ±1）かつ λ′ が定数であることを示す。
• L(𝔤,σ) および ẐL(𝔤,σ) 上の自己同型の共役類の間の全単射を確立し、問題を有限次元の場合に還元する。
• 複素拡張および共役線形拡張を用いて実形式および自己同型を分類し、Aut(𝔤) 内の自己同型の中心化部分群の不変量を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなアフィン Kac-Moody代数の有限位数自己同型は、どのように有限次元的データを用いて分類可能か？
• RQ2 ループ代数の同型写像と、有限次元リー代数における滑らかな自己同型の曲線との間の明確な関係は何か？
• RQ3 自己同型および実形式の分類は、どのようにして対称空間の Cartan 分類を拡張するか？
• RQ4 Aut(𝔤) 内の自己同型の中心化部分群の連結成分は、実形式の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 共役線形拡張を用いることで、コンパクトな場合から複素滑らかなアフィン Kac-Moody代数への実形式の分類を拡張可能か？

主な発見

• すべての-twisted ループ代数 L(𝔤,σ) 間の同型写像は標準的であり、微分同相写像 λ と滑らかな自己同型の曲線 φₜ によって誘導される。
• 同型写像が対応する滑らかなアフィン Kac-Moody代数 ẐL(𝔤,σ) に拡張可能であるための必要十分条件は、λ(t) = εt + t₀（ε = ±1）かつ λ′ が定数であることである。
• ẐL(𝔤,σ) および L(𝔤,σ) 上の有限位数自己同型の共役類は、双対性の下に一対一対応する。
• 自己同型（位数2）の場合、ẐL(𝔤,σ) 上の第二種の共役類は、対 (ρ₊, ρ₋) の同値類によってパラメトライズされ、ここで ρ₊, ρ₋ ∈ Aut𝔤 は自己同型または恒等写像であり、かつ ρ₋ρ₊ が Aut𝔤/Int𝔤 内で σ に共役である。
• 𝔤 がコンパクトな場合、ẐL(𝔤,σ) 上の自己同型の共役線形拡張により、実形式の共役類と ẐL(𝔤ℂ,σℂ) 上の自己同型の共役類との間に全単射が得られ、Cartan分解の存在および一意性が保証される。
• Levstein の結果を用いて代数的カテゴリーへ拡張すると、滑らかさのケースと本質的に同じ結果が得られる。