[論文レビュー] Finite order spreading models

Spiros A. Argyros, Vassilis Kanellopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、k-系列とplegma族を用いて古典的スプライディングモデルを一般化するBanach空間理論におけるk-スプライディングモデルを導入する。2-スプライディングモデルのc₀がすべてのスプライディング系列に対して普遍的であることを確立し、特定の反射的空間がℓ¹やc₀を転倒スプライディングモデルとして持たないことを示し、k-反復スプライディングモデルに関する長年の問題を解決する。

ABSTRACT

Extending the classical notion of the spreading model, the $k$-spreading models of a Banach space are introduced, for every $k\in\mathbb{N}$. The definition, which is based on the $k$-sequences and plegma families, reveals a new class of spreading sequences associated to a Banach space. Most of the results of the classical theory are stated and proved in the higher order setting. Moreover, new phenomena like the universality of the class of the 2-spreading models of $c_0$ and the composition property are established. As consequence, a problem concerning the structure of the $k$-iterated spreading models is solved.

研究の動機と目的

• Banach空間におけるk-反復スプライディングモデルの構造について、OdellとSchlumprechtが提起した問題を解決すること。
• k-系列とplegma族に基づく、新たな漸近的構造のクラス—k-スプライディングモデル—を導入すること。
• 古典的スプライディングモデル理論を高階の漸近的構造へ一般化し、基礎的性質を確立すること。
• c₀の2-スプライディングモデルのクラスが、すべてのスプライディング系列に対して普遍的であることを示すこと。
• 特定の反射的Banach空間が、任意の可算順序数ξ < ω₁に対してℓ¹やc₀を転倒スプライディングモデルとして持たないことを示すこと。

提案手法

• k-系列を[ℕ]^kに添え字づけ、plegma族（厳密な順序とギャップ条件を満たすk要素集合の有限列）を用いてk-スプライディングモデルを定義する。
• Ramsey理論的技法とplegma族を用いて、有界k-系列からk-スプライディングモデルを生成する部分構造を抽出する。
• 転倒階層構成を用いてk-スプライディングモデルをω₁順序数レベルに拡張し、有限kを超える漸近的構造の解析を可能にする。
• 弱いplegmaticパスとサポート分解を用いて、ノルムを制御し、非埋め込み性の証明における一様推定を得る。
• コーシー＝シュワルツの不等式と再帰的ノルム推定を用いて、空間内のベクトルのサポートにおける摂動を評価する。
• 任意のスプライディング系列をそれらのモデルに同型埋め込みする構成により、c₀の2-スプライディングモデルの普遍性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のスプライディング系列は、c₀の2-スプライディングモデルに同型に埋め込めるか？
• RQ2 k ≥ 2のとき、Banach空間のk-反復スプライディングモデルは常にℓ¹またはc₀をスプライディングモデルとして持つのか？
• RQ3 すべての可能なスプライディング系列を捉える、2-スプライディングモデルの普遍的クラスが存在するか？
• RQ4 反射的Banach空間は、任意の可算順序数ξ < ω₁に対して、ℓ¹やc₀を転倒スプライディングモデルとして持たないことがあるか？
• RQ5 k-スプライディングモデルとk-反復スプライディングモデルの間には、構造的普遍性の観点でどのような関係があるか？

主な発見

• c₀の2-スプライディングモデルのクラスは普遍的である：任意のスプライディング系列は、あるc₀の2-スプライディングモデルと同型に等価である。
• すべてのk ≥ 2に対して、空間X_{k+1}はℓ¹をk-スプライディングモデルとして持たない。これは、反復スプライディングモデルの構造に関する重要な問いを解決する。
• c₀の2-スプライディングモデルは、普遍的であるだけでなく、plegma族に関して強い漸近的普遍性を満たす。
• 任意の極限可算順序数ξに対して、ℓ¹がX_{ξ}のξ-スプライディングモデルであるような反射的Banach空間X_{ξ}が存在するが、ξ′ < ξである任意のξ′に対してℓ¹やc₀はX_{ξ}のξ′-スプライディングモデルでない。
• ℓ¹がX_{k+1}に埋め込まれないことを示す証明は、再帰的ノルム推定に依存する：ε < 1/8のとき、l > 8N₀^{k+1}/(5ε²)ならば、l個のベクトルの平均は‖(1/l)∑x_{t_j}‖ > 1 − 2εを満たし、これは矛盾を引き起こす。
• 構成では、サポート摂動がε未満である弱いplegmaticパス(G_i)を用い、正規化された和が0から離れて保たれることを保証する。