[論文レビュー] Finite State Mean Field Games with Major and Minor Players

René Carmona, Peiqi Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、1体の主要プレイヤーと多数の準主要プレイヤーを有する有限状態の確率的ゲームに対して、平均場ゲームの枠組みを構築し、価値関数がハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン型PIDEを満たすことを証明するとともに、粘性解を用いてナッシュ均衡の存在を確立した。さらに、混沌の伝播を示し、平均場均衡が有限プレイヤー数ゲームにおける近似ナッシュ均衡をもたらすことを示し、平均場近似の妥当性を裏付けた。

ABSTRACT

The goal of the paper is to develop the theory of finite state mean field games with major and minor players when the state space of the game is finite. We introduce the finite player games and derive a mean field game formulation in the limit when the number of minor players tends to infinity. In this limit, we prove that the value functions of the optimization problems are viscosity solutions of PIDEs of the HJB type, and we construct the best responses for both types of players. From there, we prove existence of Nash equilibria under reasonable assumptions. Finally we prove that a form of propagation of chaos holds in the present context and use this result to prove existence of approximate Nash equilibria for the finite player games from the solutions of the mean field games. this vindicate our formulation of the mean field game problem.

研究の動機と目的

• 有限状態空間における1体の主要プレイヤーと多数の準主要プレイヤーを有するシステムに平均場ゲーム理論を拡張すること。
• 準主要プレイヤー数が無限大に近づく際の有限プレイヤー数ゲームの極限を形式化すること。
• 価値関数がHJB型PIDEの粘性解であることを証明し、両プレイヤー種別における最良応答を構成すること。
• 妥当な仮定の下で閉ループナッシュ均衡の存在を確立すること。
• 混沌の伝播を用いて、平均場均衡が有限ゲームにおいて近似ナッシュ均衡をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 主要プレイヤーと準主要プレイヤーの両者に異なる情報構造と制御集合を有する有限プレイヤー数ゲームを定式化する。
• 準主要プレイヤー数を無限大に近づけることにより平均場極限を導出し、標準的な半群収束結果を用いてマルコフ過程の収束を示す。
• 主要プレイヤーと準主要プレイヤーの状態分布の実現確率測度の連合動的挙動を、無限小生成作用素を用いてマルコフ過程として特徴付ける。
• Carmona & Tang (2013) の代替的アプローチを用い、ナッシュ均衡を最良応答関数の不動点として定義する。
• 最適化問題の価値関数がハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン型PIDEの粘性解であることを証明する。
• グロワールの不等式と一様有界性を用いて、混沌の伝播を確立し、有限ゲームの均衡が平均場極限に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1体の主要プレイヤーと多数の準主要プレイヤーを有する有限状態平均場ゲームにおいて、ナッシュ均衡が存在する条件は何か？
• RQ2 準主要プレイヤー数が無限大に近づく極限において、プレイヤーの価値関数はどのように振る舞うか？
• RQ3 平均場ゲームの定式化が、その解が有限プレイヤー数ゲームにおける近似ナッシュ均衡をもたらすことを示すことによって正当化できるか？
• RQ4 主要プレイヤーの状態と制御が、準主要プレイヤーの状態分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非対称なプレイヤー種別を有するこの平均場ゲーム設定において、混沌の伝播特性はどのように成立するか？

主な発見

• 主要プレイヤーおよび準主要プレイヤーの最適化問題の価値関数は、ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン型PIDEの粘性解である。
• HJB PIDEの解を用いて、主要プレイヤーおよび準主要プレイヤーの最良応答が明示的に構成可能である。
• 係数に関する標準的な正則性および有界性仮定の下で、平均場ゲームにおけるナッシュ均衡が存在する。
• 混沌の伝播特性が成立し、極限において、主要プレイヤーの経路が与えられたもとで、準主要プレイヤーの状態が条件付き独立になる。
• 平均場ゲーム均衡は、有限プレイヤー数ゲームにおいて近似ナッシュ均衡を提供し、誤差のバウンディングがO(1/N)のオーダーで減少する（Nは準主要プレイヤー数）。
• 連合過程 (X_t^0, μ_t) および (X_t^0, X_t, μ_t) はマルコフ的であり、それらの分布は無限小生成作用素によって特徴付けられる。