[论文解读] First applications of generalized Li's criterion to study the Riemann zeta-function zeroes location

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将一种新广义的李准则（与黎曼猜想等价）应用于黎曼ζ函数非平凡零点位置的分析。证明了对任意正整数n，存在一个阈值bₙ，使得当所有m ≤ n且b > bₙ时，广义李和保持非负，并在黎曼猜想成立的假设下推导出这些和的渐近公式，为研究零点分布提供了新的分析路径。

ABSTRACT

We present the first applications of the recently established by us (arXiv:1304.7895; Ukrainian Math. J. - 2014. -66. - P. 371-383) generalized Li's criterion equivalent to the Riemann Hypothesis. This criterion is the statement that the Riemann hypothesis is equivalent to the non-negativity of the derivatives 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 of the Riemann xi-function for all real b>-1/2 and all m = 1, 2, 3... We show that for any positive integer n there is such value of b_n (depending on n) that for all m<=n and b>b_n, inequality 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 >=0 does hold true. Assuming RH, we also have found an asymptotic of the generalized Li's sums over non-trivial Rieman zeroes for large n, and discuss what asymptotic of 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln((z-1)*(ζ(z))) at the point z+b+1 is required for the Riemann hypothesis holds true.

研究动机与目标

• 将近期建立的、与黎曼猜想等价的广义李准则应用于黎曼ζ函数非平凡零点位置的分析。
• 证明对于任意给定的n，存在一个bₙ，使得当所有m ≤ n且b > bₙ时，广义李和保持非负。
• 在黎曼猜想假设下，推导出关于非平凡零点的广义李和的渐近表达式。
• 确定完成zeta函数对数导数的特定导数在黎曼猜想成立时所需的渐近行为。

提出的方法

• 本文采用的广义李准则形式为：对所有m ≥ 1及实数b > -1/2，(z + b)^(m-1) * ln(ξ(z))在z = b + 1处的m阶导数非负。
• 引入参数b以正则化临界线附近xi函数的行为，从而能够分析高阶导数。
• 作者在黎曼猜想假设下分析广义李和的渐近行为，推导出当n较大时的显式渐近公式。
• 他们研究了(z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))在z = b + 1处的m阶导数所需的渐近增长，以确保广义准则所要求的非负性条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的正整数n，是否存在一个阈值bₙ，使得当所有m ≤ n且b > bₙ时，广义李和保持非负？
• RQ2 在黎曼猜想假设下，当n → ∞时，关于ζ函数非平凡零点的广义李和的渐近行为如何？
• RQ3 在z = b + 1处，(z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))的m阶导数需满足何种渐近条件，才能使黎曼猜想成立？
• RQ4 广义李准则（含参数b）如何对经典李准则在黎曼猜想中的应用进行细化或拓展？

主要发现

• 对于任意正整数n，存在一个实数bₙ，使得当所有m ≤ n且所有b > bₙ时，广义李和保持非负。
• 在黎曼猜想假设下，当n → ∞时，关于非平凡零点的广义李和表现出特定的渐近增长模式。
• 本文推导出广义李和关于n及非平凡零点虚部的显式渐近公式。
• 确定了(z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))在z = b + 1处的m阶导数所需的渐近行为，作为黎曼猜想成立的必要条件。