[論文レビュー] First integrals of ordinary difference equations beyond Lagrangian methods

В. А. Дородницын, Е. И. Капцов+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、変分的（ラグランジュ的またはハミルトニアン的）な定式化を必要としない、常差分方程式の第一積分を構成するための新しい随伴方程式法を提示する。対称性、離散随伴方程式の解、および第一積分を結びつけることで、非線形および三階方程式を含む不変写像や常微分方程式の離散化の正確な解法が可能となり、関数的に独立な第一積分を用いた代数的還元によって実現される。

ABSTRACT

A new method for finding first integrals of discrete equations is presented. It can be used for discrete equations which do not possess a variational (Lagrangian or Hamiltonian) formulation. The method is based on a newly established identity which links symmetries of the underlying discrete equations, solutions of the discrete adjoint equations and first integrals. The method is applied to invariant mappings and discretizations of a second order and a third order ODEs. In examples the set of independent first integrals makes it possible to find the general solution of the discrete equations. The method is compared to a direct method of constructing first integrals.

研究の動機と目的

• 変分的（ラグランジュ的またはハミルトニアン的）な定式化を許さない常差分方程式の第一積分を求めるための手法を開発すること。
• 従来、微分方程式に用いられていた随伴方程式法を、写像や格子上の差分スキームを含む離散系へと拡張すること。
• 完全な関数的に独立な第一積分の集合が代数的に導出可能であり、離散方程式の一般解が得られることを示すこと。
• 不変離散化された常微分方程式が、修正されたパラメータを導入することで正確な解をもたらす可能性を示すこと、特に非線形および三階方程式に対して。

提案手法

• 本手法は、離散方程式のリー点対称性、その離散随伴方程式の解、および第一積分を結ぶ新しい恒等式を確立する。
• 離散随伴方程式を用いて、随伴系の解を積分因子として用いることで、第一積分を構成する。
• スカラー写像に対しては、四点方程式に特化し、対称性と随伴解を用いて第一積分を生成する。
• 常微分方程式の離散化から生じる差分系に対しては、連続的な対称性構造を用いて不変スキームおよびその第一積分を導出する。
• 本手法は、不変写像および二階および三階常微分方程式（シュバルツィアン方程式および調和振動子を含む）の離散化に対して検証される。
• 座標変換や積分を避けて、代わりに対称性と随伴解を用いた代数的演算に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ的定式化を許さない常差分方程式に対して、第一積分を体系的に構成可能か？
• RQ2 微分方程式から離散方程式へと随伴方程式法をどのように適応可能か、特に写像や差分スキームに対して？
• RQ3 不変離散化された常微分方程式が正確な解をもたらすことは可能か？どのような条件下で？
• RQ4 対称性と随伴解は、離散系の関数的に独立な第一積分の完全集合を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 本手法は、微分差分方程式および偏微分方程式へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 随伴方程式法により、離散方程式に対して関数的に独立な第一積分の完全集合が成功裏に構成され、一般解が代数的演算によって得られる。
• 不変四点離散方程式に対しては、本手法により二つの独立第一積分が得られ、一般解が閉形式で表現可能となる。
• パラメータ M を M_mod に修正した場合、三階シュバルツィアン常微分方程式の離散化に対して正確な解が得られる。M_mod → M は h → 0 のときを満たす。
• 調和振動子に対しては、パrameter を M_mod = −(2/h²) sinh²(√(−M/2) h) に調整することで、不変離散化が正確な解をもたらす。
• M = 0 の場合、シュバルツィアン常微分方程式の離散化は、パラメータを修正せずとも正確であり、連続解と一致する。
• 本手法は、対称性が変分的でない場合にも有効であり、ネーターの定理やラグランジュに基づくアプローチの範囲を超えて拡張可能である。