[論文レビュー] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings and amenability

Anthony Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間の有界閉凸部分集合および局所凸空間のコンパクト凸部分集合上での非線形写像の半位相的半群に対する不動点性質を確立し、L-埋め込み集合を導入し、AP(S) や WAP(S) に左不変平均をもつ左可換半群が共通不動点を保証することを証明する。主な貢献は、有界性や分離性の仮定なしに、ほとんど周期的関数空間上での左不変平均の存在を用いた不動点性質の特徴付けであり、既存の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we study fixed point properties for semitopological semigroup of nonexpansive mappings on a bounded closed convex subset of a Banach space. We also study a Schauder fixed point property for a semitopological semigroup of continuous mappings on a compact convex subset of a separated locally convex space. Such semigroups properly include the class of extremely left amenable semitopological semigroups, the free commutative semigroup on one generator and the bicyclic semigroup $S_1 = < a, b: ab = 1 >$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間および局所凸空間の有界またはコンパクトな凸部分集合上で、非拡張および連続写像の半位相的半群の不動点性質を調査すること。
• 特に弱連続または別々に連続な表現に対して、半群の分離性仮定を除去することで、既知の不動点定理を拡張すること。
• 共通不動点の存在を、ほとんど周期的および弱ほとんど周期的関数空間上での左不変平均（LIM）の存在という観点から特徴付けること。
• 非可換および非可逆半群において、可解性（LIMを介して）と不動点性質との関係を明確にすること。
• トポロジカル群や半群において、シュレーダー不動点性質が特定の可解性性質を完全に特徴付けるかどうかという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• バナッハ空間におけるL-埋め込み凸集合の概念を導入し、不動点解析のための正規構造および弱コンパクト性の一般化を行う。
• 凸部分集合上での半位相的半群の表現理論を用い、ノルム、弱、弱*位相の下での非拡張およびアフィン写像に焦点を当てる。
• 軌道閉包の議論と弱*コンパクト性を用いて、AP(S) および WAP(S) 上の左不変平均（LIM）と不動点性質との間の対応を確立する。
• 右軌道の点型閉包（co̅p{rₛf : s ∈ S}）の概念を用い、定数関数の包含を条件としてLIMの存在を特徴付ける。
• 半群 S が不動点性質（F*s）をもつならば、AP(S) および可算性の下で WAP(S) が LIM をもつことを証明し、不動点行動と可解性を結びつける。
• 双対性および拡張技術を用いて、S からそのユニタリゼーション S^e への平均の持ち上げを行い、S^e 上の LIM がそれぞれ S 上の AP(S) や WAP(S) 上の LIM に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の左可換半位相的半群 S が、バナッハ空間の L-埋め込み有界閉凸部分集合 C 上で非拡張的に作用する場合、C 内に共通不動点をもつだろうか？
• RQ2 分離性仮定なしに、半群の不動点性質（F*s）が AP(S) や WAP(S) 上の左不変平均の存在によって特徴付けられるだろうか？
• RQ3 不動点性質（F*s）は左可換性と同値であろうか？それとも、S₂ = ⟨e,a,b,c: ab=ac=e⟩ のような左可換でない半群が still (F*s) を満たす可能性があるだろうか？
• RQ4 WAP(S) 上に左不変平均が存在することは、弱に別々に連続で、弱に準等連続的かつ Q-非拡張的表現が弱コンパクト凸集合上で作用する場合、シュレーダー不動点性質を意味するだろうか？
• RQ5 トポロジカル群や半群のどの可解性性質が、シュレーダー不動点性質によって完全に特徴付けられるだろうか？

主な発見

• 半群 S が左可換であり、バナッハ空間の L-埋め込み有界閉凸部分集合 C 上で非拡張的に作用するならば、S は C 内に共通不動点をもつ。
• 分離性の仮定なしに、AP(S) 上の左不変平均（LIM）の存在は、半位相的半群の不動点性質（F*s）と同値である。
• 可算な左イデアルをもつ半群に対して、WAP(S) 上の LIM の存在は、弱に別々に連続で、Q-非拡張的表現が弱コンパクト凸集合上で作用する場合の不動点性質（F*s）を意味する。
• 本稿では、不動点性質（F*s）が AP(S) 上に LIM の存在を示し、可算な左イデアルの条件下では WAP(S) 上にも LIM の存在を示すことを証明し、不動点行動と可解性を結びつける。
• 著者らは、S とそのユニタリゼーション S^e 間での双対性を確立し、AP(S^e) や WAP(S^e) 上の LIM がそれぞれ AP(S) や WAP(S) 上の LIM に対応することを示した。
• 結果は、[32, Theorem 3.8] も含め、以前の定理の分離性仮定を除去して一般化し、不動点性質（F*s）が左可換性よりも厳密に弱いことを示唆している。