[論文レビュー] Fixed point theorems for Kannan type mappings with applications to split feasibility and variational inequality problems

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における不連続な固定点収縮を許容する、カナンおよび非拡大写像の一般化である強化カナンおよび強化ビアンキーニ写像を導入する。Krasnoselskij型反復アルゴリズムによる固定点の近似に関して強い収束を証明し、その結果を、一意解および強い収束を保証する分割妥当性問題と変分不等式問題に応用することで、従来の弱収束結果を改善する。

ABSTRACT

The aim of this paper in to introduce a large class of mappings, called {\it enriched Kannan mappings}, that includes all Kannan mappings and some nonexpansive mappings. We study the set of fixed points and prove a convergence theorem for Kransnoselskij iteration used to approximate fixed points of enriched Kannan mappings in Banach spaces. We then extend further these mappings to the class of enriched Bianchini mappings. Examples to illustrate the effectiveness of our results are also given. As applications of our main fixed point theorems, we present two Kransnoselskij projection type algorithms for solving split feasibility problems and variational inequality problems in the class of enriched Kannan mappings and enriched Bianchini mappings, respectively.

研究の動機と目的

• Krasnoselskij平均化を用いて、カナンおよび非拡大写像をより広い収縮写像のクラスへ拡張すること。
• バナッハ空間における強化カナンおよび強化ビアンキーニ写像に対して、Krasnoselskij反復の強い収束定理を確立すること。
• 分割妥当性問題および変分不等式問題に対して、強い収束を保証する新しい投影型アルゴリズムを開発すること。
• これらの新しい写像が一意な固定点をもたらし、既存の弱収束結果を改善することを示すこと。

提案手法

• 不等式 ||k(x−y)+Tx−Ty|| ≤ a[||x−Tx|| + ||y−Ty||] を用いて、a∈[0,1/2) および k∈[0,∞) における (k,a)-強化カナン写像を定義する。
• 任意の (k,a)-強化カナン写像が一意な固定点をもち、任意の初期点に対して Krasnoselskij 反復 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n が λ∈(0,1] でその固定点へ強い収束することを証明する。
• より一般の収縮構造を持つ類似不等式を用いて、(k,a)-強化ビアンキーニ写像へこのクラスを拡張する。
• これらの写像を用いて、分割妥当性問題および変分不等式問題のための Krasnoselskij 投影型アルゴリズムを構築する。
• 収束定理を適用し、関連する作用素が強化カナンまたは強化ビアンキーニ写像であると仮定した場合に、アルゴリズムの強い収束を示す。
• 投影作用素 P_C および CQ アルゴリズムフレームワークを用いるが、非拡大写像の代わりに強化カナン／ビアンキーニ写像を導入することで、一意性および強い収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カナン型収縮は、非拡大および不連続写像を含むように一般化可能であり、固定点収束を保つことができるか？
• RQ2 バナッハ空間における強化カナン写像に対して、Krasnoselskij 反復は強い収束を示すか？
• RQ3 強化カナン写像を用いることで、従来の弱収束結果に代えて、分割妥当性問題において強い収束を保証できるか？
• RQ4 強化ビアンキーニ写像は、変分不等式問題において一意解および強い収束をもたらすか？
• RQ5 Krasnoselskij アルゴリズムは、不連続写像を用いて、分割妥当性および変分不等式問題を強い収束で解けるように適合可能か？

主な発見

• 任意のバナッハ空間上の (k,a)-強化カナン写像は一意な固定点をもち、任意の初期点に対して Krasnoselskij 反復が λ∈(0,1] でその固定点へ強い収束する。
• λ∈(0,1] に対する Krasnoselskij 反復 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n は、ある δ∈(0,1) に対して、誤差評価 ||x_{n+i−1}−p|| ≤ δ^{n}||x_0−p|| を満たし、線形収束する。
• 分割妥当性問題（SFP）は、作用素 T = P_C(I−γA*(I−P_Q)A) が (k,a)-強化カナン写像であるとき、一意解を持つ。この場合、任意の x_0∈C に対して、アルゴリズム x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n はその解へ強い収束する。
• 変分不等式問題において、T = P_C(I−γG) が (k,a)-強化ビアンキーニ写像であるならば、Krasnoselskij アルゴリズム x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n は任意の x_0∈C に対して一意解へ強い収束する。
• 従来の非拡大写像の代わりに強化カナン／ビアンキーニ写像を導入することで、解の一意性および強い収束を保証する点で、既存の研究を改善している。一方、従来の手法では弱収束しか保証しなかった。
• 具体例により、このクラスは不連続写像（例：[0,1] 上の T(x)=1−x）を含み、これらはカナンまたは非拡大写像ではないが、強化カナン写像に属することを示しており、このクラスの一般性を裏付けている。