[論文レビュー] Fixed Points for E-Asymptotic Contractions and Boyd-Wong Type E-Contractions in Uniform Spaces

Aris Aghanians, Kamal Fallahi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、E-距離を備えた分離された一様空間におけるE-漸近的収縮および Boyd-Wong型E-収縮のための新しい不動点定理を確立する。E-距離を用いてキーカーの結果およびボイド＝ウォーグンの結果を一様空間の設定に一般化することで、ΦまたはΨに属する関数による収縮的制御、p連続性、p完備性の条件下で、不動点の存在および一意性を証明し、古典的な距離空間の結果をより広い位相的構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we discuss on the fixed points of asymptotic contractions and Boyd-Wong type contractions in uniform spaces equipped with an E-distance. A new version of Kirk's fixed point theorem is given for asymptotic contractions and Boyd-Wong type contractions is investigated in uniform spaces.

研究の動機と目的

• 漸近的収縮のためのキーカーの不動点定理を、完備距離空間からE-距離を備えた分離された一様空間へ一般化すること。
• 関数ψ ∈ Ψによって制御される新しい収縮クラスを導入することで、ボイド＝ウォーグンの不動点定理を一様空間へ拡張すること。
• p完備な一様空間におけるE-漸近的収縮およびボイド＝ウォーグン型E-収縮が、一意な不動点を持つための条件を確立すること。
• p連続性およびp完備性が、反復列が一意な不動点へ収束することを保証する役割を果たすことの解明。
• E-距離フレームワークが、古典的連続性または厳密収縮条件が成立しない場合でも不動点結果を可能にすることの実証。

提案手法

• 関数列{φₙ}がΦに属するφへ一様収束するものとして、E-漸近的収縮を定義する。すべてのx,y ∈ Xおよびn ≥ 1に対してp(Tⁿx, Tⁿy) ≤ φₙ(p(x,y))を満たす。
• ψ ∈ Ψを満たす関数ψを用いて、ボイド＝ウォーグン型E-収縮を導入する。すべてのx,y ∈ Xに対してp(Tx, Ty) ≤ ψ(p(x,y))が成り立ち、ψは右から上半連続であり、すべてのt > 0に対してψ(t) < tを満たす。
• E-距離pを用いて定義されるp収束およびpコーシー列を用いて、反復列Tⁿxの収束挙動を分析する。
• p完備性およびp連続性の下で、列{Tⁿx}がpコーシー列であり、かつp収束することを証明する。
• 不動点の一意性を示すために、補題1（p極限の一意性）を適用する。p(x,y) = 0ならばx = yであることを示し、不動点の一意性を保証する。
• ψおよびφₙの性質に基づく背理法を用いて、p(Tⁿx, Tⁿy) → 0および{Tⁿx}がpコーシー列であることを示し、不動点への収束に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キーカーの漸近的収縮のための不動点定理は、距離空間からE-距離を備えた分離された一様空間へ拡張可能か？
• RQ2 E-距離を備えた一様空間におけるボイド＝ウォーグン型E-収縮が、一意な不動点を持つための条件は何か？
• RQ3 E-距離の使用が、古典的収縮条件が満たされない一様空間でも不動点結果を可能にする仕組みは何か？
• RQ4 p連続性およびp完備性が、E-距離フレームワーク内での反復列の不動点への収束を保証する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ5 個々の写像が連続的でないか、厳密に収縮的ではない場合でも、一様空間において不動点定理を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、p完備で分離された一様空間にE-距離が備わった空間において、すべてのE-漸近的収縮が一意な不動点を持つことを証明している。
• ボイド＝ウォーグン型E-収縮に関して、Tがp(Tx, Ty) ≤ ψ(p(x,y))を満たし、ψ ∈ Ψを満たすならば、TはX内に一意な不動点uを持ち、すべてのx ∈ Xに対してTⁿxがp位相でuに収束する。
• Tのp完備性およびp連続性の下で、列{Tⁿx}がpコーシー列であり、かつ一意な不動点uにp収束することが示された。
• 証明は背理法に依拠している：p(Tⁿx, Tⁿy)の極限がα > 0であると仮定すると、α ≤ ψ(α)が得られ、ψ(t) < t（t > 0）であることに反する。
• 不動点の一意性は、p(u,v) ≤ ψ(p(u,v))からp(u,v) = 0が導かれ、補題1によりu = vが保証される。
• 例として、ψ(t) = t/4を満たすが、距離的意味での標準的ボイド＝ウォーグン条件を満たさない不連続写像の例が提示され、このフレームワークの一般性が示されている。