[論文レビュー] Fixed points of composite entire and quasiregular maps

Walter Bergweiler|ArXiv.org|Sep 27, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、整値超越関数の合成が無限個の固定点を持つという結果について、Wiman-Valiron法を避けて、被覆論および準正則性を用いた正則族に基づく新しい証明を提示する。この結果は、無限遠点に本質的特異点をもつℝᵈにおける擬正則写像へと拡張される。非実固定点および高次に反発的な固定点を含む無限個の固定点の存在が示される。

ABSTRACT

We give a new proof of the result that if f and g are transcendental entire functions, then the composite function f(g) has infinitely many fixed points. The method yields a number of generalization of this result. In particular, it extends to quasiregular maps in space.

研究の動機と目的

• 2つの整値超越関数の合成が無限個の固定点を持つという古典的結果の新しい証明を提供すること。
• この結果を無限遠点に本質的特異点をもつℝᵈにおける擬正則写像へ一般化すること。
• 整値超越関数の合成に対して無限個の非実固定点が存在することを確立し、Clunieの問いに応えること。
• このような合成が無限個の反発的固定点を持つことを証明し、複素解析的力学における先行結果を拡張すること。
• 固定点の導関数が任意に大きくとれるように示し、球面的導関数の有界でない増大を示すこと。

提案手法

• 反復合成の挙動を分析するために、Wiman-Valiron法の代わりに正則族および準正則性理論を用いる。
• Ahlforsの被覆論を適用し、互いに交わらないジョルダン領域上での正則写像の島を検出する。
• 最大値原理および局所一様収束を用いて、関数列が有限な例外集合を除き無限大に発散することを導く。
• Nevanlinna理論および特徴関数の推定を用いて、最大モジュラスの成長および大きな値をとる集合の測度を制御する。
• 対数導関数における積分推定を適用し、弧に沿った球面的導関数の成長を制御する。
• Nevanlinna特徴関数における漸近的推定を用いて矛盾を導き出し、成長仮定が無限大の対数項を生じさせることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整値超越関数fとgに対してf∘gの無限固定点性質をWiman-Valiron法を用いずに証明可能か？
• RQ2 無限遠点に本質的特異点をもつℝᵈにおける擬正則写像f,gに対して、f∘gは無限個の固定点を持つか？
• RQ3 整値超越関数の合成f∘gは無限個の非実固定点を持つか？
• RQ4 f∘gが任意に大きな球面的導関数をもつ固定点を持つことが保証可能か？
• RQ5 整値超越関数の設定において、f∘gが無限個の反発的固定点を持つことを証明可能か？

主な発見

• 2つの整値超越関数の合成f∘gは、正則族およびAhlfors被覆論を用いて無限個の固定点を持つことが証明された。
• 合成f∘gは無限個の非実固定点を持つ。これはClunieの予想を裏付け、EremenkoとRubelの結果を拡張する。
• f∘gの固定点ξₙの列が存在し、|(f∘g)′(ξₙ)| → ∞を満たす。これは球面的導関数の有界でない増大を示唆する。
• 合成f∘gは無限個の反発的固定点を持つ。これは単なる固定点の存在よりも強い結果である。
• 無限遠点に本質的特異点をもつℝᵈ→ℝᵈの擬正則写像f,gに対して、d≥2のときf∘gは無限個の固定点を持つ。
• 証明における矛盾は、固定点が有限個であると仮定することで生じ、Nevanlinna特徴関数における無限大の成長が漸近的推定に反する。