[論文レビュー] Flat affine symplectic Lie groups

Fabricio Valencia|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、左対称代数のニエンハイウスコホモロジーを用いたシンプレクティックエタールアフィン表現および二重拡張を用いて、平坦なアフィンシンプレクティックリー群の新しい特徴付けを導入する。すべての単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群で、双不変なシンプレクティック接続を持つものは、非自明な一様パラメータ部分群である中心移動を含み、すべての偶数次元で反復的二重拡張を用いてその構成がなされることが示された。

ABSTRACT

We give a new characterization of flat affine manifolds in terms of an action of the Lie algebra of classical infinitesimal affine transformations on the bundle of linear frames. We characterize flat affine symplectic Lie groups using symplectic étale affine representations and as a consequence of this, we show that a flat affine symplectic Lie group with bi-invariant symplectic connection contains a nontrivial one parameter subgroup formed by central translations. We give two methods for constructing flat affine symplectic Lie groups, thus obtaining all those having bi-invariant symplectic connections. We get nontrivial examples of simply connected flat affine symplectic Lie groups in every even dimension.

研究の動機と目的

• シンプレクティックエタールアフィン表現を用いて、平坦アフィンシンプレクティックリー群を特徴付ける。
• 双不変なシンプレクティック接続を持つ単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群が、非自明な一様パラメータ部分群である中心移動を含むことを示す。
• 左対称代数のニエンハイウスコホモロジーを用いた二重拡張法を開発し、すべてのこのようなリー群を構成する。
• これらの群における左不変な平坦アフィンシンプレクティック接続の測地的完全性の条件を確立する。
• 正規アーベルなラグランジュ部分群をもつ平坦アフィンシンプレクティックリー群が、平坦アフィンリー群のねじれ接空間シンプレクティックリー群として生じることを示す。

提案手法

• 古典的無限小アフィン変換のリー代数が線形フレーム bundle に作用することによる、平坦アフィン多様体の新しい特徴付けを導入する。
• シンプレクティックエタールアフィン表現を用いて、平坦アフィンシンプレクティックリー群を特徴付ける。
• 左対称代数のニエンハイウスコホモロジーを用いて、低次元代数の二重拡張により平坦アフィンシンプレクティックリー代数を構成する。
• 可換積と $ Z_{SG}^2(rak{g}, rak{g}^*) $ 内の2次コサイクルを用いて、平坦アフィンリー群のねじれ接空間シンプレクティックリー群を定義する。
• 元の積とコサイクルから $ rak{g} \times \frak{g}^* $ 上の左対称積を導出し、群構造を定義する。
• ヘルムシュテッターの基準を適用する：左不変な平坦アフィン接続が測地的完全であることは、すべての群元に対して右乗算作用素が冪零であることと同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦アフィンシンプレクティックリー群が非自明な一様パラメータ部分群である中心移動を含む条件は何か？
• RQ2 双不変なシンプレクティック接続を持つすべての単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群を体系的に構成する方法は何か？
• RQ3 平坦アフィンシンプレクティックリー群と平坦アフィンリー群のねじれ接空間シンプレクティックリー群との関係は何か？
• RQ4 構成された群における左不変な平坦アフィンシンプレクティック接続が測地的完全であるのはいつか？
• RQ5 ニエンハイウスコホモロジーと二重拡張は、平坦アフィンシンプレクティックリー代数を生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 双不変なシンプレクティック接続を持つすべての単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群は、非自明な一様パラメータ部分群である中心移動を含む。
• 双不変なシンプレクティック接続を持つすべての単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群は、低次元の平坦アフィンシンプレクティックリー代数の二重拡張によって構成可能である。
• ねじれ接空間シンプレクティックリー群の構成は、元のリー群が平坦アフィンであり、かつ2次コサイクルが $ Z_{SG}^2(rak{g}, rak{g}^*) $ 内にあるときかつそのときに限り、平坦アフィンシンプレクティックリー群構造をもたらす。
• ねじれ接空間群における誘導接続の測地的完全性は、元の右乗算作用素と可換積に付随する写像が両方とも冪零であることと同値である。
• すべての偶数次元において、非自明な単連結な平坦アフィンシンプレクティックリー群の例が二重拡張法により構成可能である。
• ねじれ接空間群における左不変な平坦アフィンシンプレクティック接続は、元の接続が測地的完全であるときかつそのときに限り、測地的完全である。