[論文レビュー] Fluctuations of stable processes and exponential functionals of hypergeometric Levy processes

Alexey Kuznetsov, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、超幾何Lévy過程の指数関数的関数の密度のMellin変換および級数展開について明示的な公式を導出し、Lamperti安定過程との関係を確立する。安定過程の上限分布に関する既知の結果について、新たな簡潔な証明を提示するとともに、高次元における径向的安定過程の進入法則および最後の通過時刻に関する新規な結果を導出する。

ABSTRACT

We study the distribution and various properties of exponential functionals of hypergeometric Levy processes. We derive an explicit formula for the Mellin transform of the exponential functional and give both convergent and asymptotic series expansions of its probability density function. As applications we present a new proof of some of the results on the density of the supremum of a stable process, which were recently obtained by Kuznetsov "On extrema of stable processes" (2010) and Hubalek and Kuznetsov "A convergent series representation for the density of the supremum of a stable process" (2010). We also derive some new results related to (i) the entrance law of the stable process conditioned to stay positive, (ii) the entrance law of the excursion measure of the stable process reflected at its past infimum and (iii) the entrance law and the last passage time of the radial part of n-dimensional symmetric stable process.

研究の動機と目的

• 超幾何Lévy過程の指数関数的関数の密度のMellin変換および級数表現を導出すること。
• Lamperti変換を用いて、超幾何過程とLamperti安定過程との間の関係を確立すること。
• 最近の安定過程の上限分布に関する既知の結果について、新たな簡潔な証明を提示すること。
• 過去の下界で反射された安定過程のギャップ測度の進入法則に関する新規な結果を導出すること。
• n次元対称安定過程の径方向部分の最後の通過時刻の分布的性質を分析すること。

提案手法

• パラメータが許容集合Aに属するガンマ関数の比を含むラプラス指数ψ(z)を定義し、それが超幾何Lévy過程の指数であることを確立する。
• Lamperti変換を用いて超幾何過程とLamperti安定過程を結びつけ、指数関数的関数に関する結果の移行を可能にする。
• 二重ガンマ関数と反射公式を含む積分恒等式を用いて、指数関数的関数IのMellin変換を導出する。
• 逆Mellin変換技術を適用し、Iの密度の収束および漸近的級数展開を得る。
• 安定過程のスケーリング性と自己相似性を用いて、問題をユニットスケール（例：U₂）のケースに還元する。
• Mellin変換の留数を計算することで、最後の通過時刻および進入法則の密度の級数表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超幾何Lévy過程の指数関数的関数の明示的Mellin変換は何か？
• RQ2 指数関数的関数の密度の収束および漸近的級数展開は、どのように導出可能か？
• RQ3 超幾何過程とLamperti安定過程との関係は、安定過程の上限に関する既知の結果をより直接的に再導出するために利用可能か？
• RQ4 過去の下界で反射された安定過程のギャップ測度の進入法則は何か？
• RQ5 n次元対称安定過程の径方向部分の最後の通過時刻の分布的性質は何か？

主な発見

• 指数関数的関数IのMellin変換はガンマ関数の比として与えられる：E[I^{s-1}] = Γ(s)Γ((d−αs)/2)/Γ((d−α)/2)Γ(1−α(1−s)/2)。
• 指数関数的関数の密度は、逆Mellin変換および留数計算から得られる収束および漸近的級数展開を有する。
• d次元における径向的安定過程の最後の通過時刻U₂の密度は、α<1のときΓ(α(1+n)/2)およびΓ((d+αn)/2)を含む級数として表現され、α>1のときt^{-2m/α}のべき級数として表現される。
• 反射された安定過程のギャップ測度の進入法則は、Lamperti変換および関連Lévy過程の指数関数的関数を用いて導出される。
• 最後の通過時刻U₂はスケーリング性b^α U_r =_d U_{br}を有し、解析をユニットスケールに還元可能である。
• 最後の通過時刻U₂のMellin変換は、s = -nおよびs = (d+2m)/αに単純な極を有し、ガンマ関数の恒等式を用いて留数が計算可能である。