[論文レビュー] Fluctuations of the Longest Common Subsequence in the Asymmetric Case of 2- and 3-Letter Alphabets

Federico Bonetto, Heinrich Matzinger|ArXiv.org|Oct 18, 2004

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、3文字のアルファベット {0,1,a} から抽出された1つの系列と、2文字のアルファベット {0,1} から抽出されたもう1つの系列との間の最長共通部分列（LCS）長の漸近的分散を調査する。確率論的および大偏差技法を用いて、この非対称な状況下でLCS長の標準偏差が √n のオーダーであることを証明し、Watermanの予想をこの特定の設定で裏付ける。また、類似したモデルにおいて √n スケーリングが一般的である可能性を示唆する。

ABSTRACT

We investigate the asymptotic standard deviation of the Longest Common Subsequence (LCS) of two independent i.i.d. sequences of length n. The first sequence is drawn from a three letter alphabet {0,1,a}, whilst the second sequence is binary. The main result of this article is that in this asymmetric case, the standard deviation of the length of the LCS is of order square root of n. This confirms Waterman's conjecture for this special case. Our result seems to indicate that in many other situations the order of the standard deviation is also square root of n.

研究の動機と目的

• 非対称なアルファベットを持つ2つの独立同分布（i.i.d.）系列間のLCS長の標準偏差の漸近的オーダーを特定すること。
• この非対称な設定において、LCS長の分散が n のオーダーであるというWatermanの予想を検証すること。
• 有限アルファベットを持つ非対称な系列モデルにおいて、標準偏差の √n スケーリングが一般に成立するかどうかを調査すること。
• まれなパターンや低一致スコアのモチーフが、i.i.d. 系列におけるLCSのフラクチュエーションに与える影響を分析すること。

提案手法

• ギャップペナルティなしの同一性スコアリングによる系列アラインメントとしてLCS問題をモデル化し、最長共通部分列の特定に還元すること。
• 系列をブロックに分割し、部分列一致におけるレアイベントの確率を制御するために大偏差境界を適用すること。
• 部分列長の逸脱確率を推定するためにモーメント生成関数技法と指数的バウンドを用いること。
• 部分インデックス集合上での一致部分列の数え上げに生じる二項係数を推定するためにスターリングの近似を用いること。
• 系列の独立性およびi.i.d. の仮定を用いて、部分列一致を表すi.i.d. 確率変数のモーメント生成関数を導出すること。
• 指数的尾部推定と部分和分解を用いて、長期間の同一記号列や高スコア一致のレアイベントの確率をバウンドすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの系列が {0,1,a} から、もう1つの系列が {0,1} から抽出される非対称な状況下で、LCS長の標準偏差の漸近的オーダーは何か？
• RQ2 Watermanが予想したように、この非対称モデルにおいてLCS長の分散は √n に比例するか？
• RQ3 期待一致スコアが低いまれなパターンは、i.i.d. 系列におけるLCS長のフラクチュエーションにどのように影響するか？
• RQ4 大偏差技法を用いて、非対称モデルにおいてLCS長がその平均から著しく逸脱する確率をバウンドできるか？
• RQ5 有限アルファベットを持つさまざまな非対称な系列モデルにおいて、標準偏差の √n スケーリングは頑健な特徴であるか？

主な発見

• 1つの系列が {0,1,a} から、もう1つの系列が {0,1} から抽出される非対称な状況下で、LCS長の標準偏差は √n のオーダーである。
• LCS長の分散が n のオーダーであることが証明され、この特定のモデルにおいてWatermanの予想が裏付けられた。
• LCS長が νn を超える確率（ν < 0.5 の場合）は n に対して指数的に減少し、ある定数 c に対して e^{c(ν−0.5)²n} でバウンドされる。
• 任意の ε > 0 に対して、系列長が 2l(1−δ(ε)) のとき、LCS長が l(1−ε) を超える確率は ε および δ(ε) を含む指数的項でバウンドされる。
• 本手法は、二進系列における同一記号の長大な連続列といったレアイベントを効果的に制御でき、それらがLCSのフラクチュエーションに与える寄与は、ある閾値を超えると無視できることが示された。
• 解析により、この非対称な設定において、フラクチュエーションの √n スケーリングが頑健であることが示され、類似したモデルにおいて一般に成立する可能性を示唆する。