[論文レビュー] Fock-Lorentz transformations and time-varying speed of light

S. N. Manida|ArXiv.org|May 14, 1999

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、光の速度が時間に依存する $ c(t) = R/t $ であることを導入することで、ローレンツ変換の一般化としてフォック＝ローレンツ（FL）変換を提案する。ここで $ R $ は基本的な宇宙論的長さスケールである。このモデルは局所的なローレンツ不変性を保ちつつ、グローバルなフォック＝ローレンツ不変性を許容し、ローレンツ対称性を破らずに可変光速度（VSL）宇宙論の幾何学的枠組みを提供する。特に、フリードマン＝ロバチェフスキー時空における赤方偏移およびハッブルに類似た膨張に関する重要な示唆が得られる。

ABSTRACT

The theory of relativity was built up on linear Lorentz transformation. However, in his fundamental work "Theory of Space, Time and Gravitation" V.A.Fock shows that the general form of the transformation between the coordinates in the two inertial frames could be taken to be linear fractional. The implicit form of this transformation contains two constants of different space-time dimensions. They can be reduced to the constant "c" with the dimension of speed ("speed of light"), and to the constant "R" with the dimension of length (an invariant radius of the visible part of the Universe). The geometry of the "light cones" shows that "R" is a fundamental constant, but "c" depends on the time of transformation.

研究の動機と目的

• 線形分数型の形式に基づき、より一般化された変換群（フォック＝ローレンツ（FL）変換）を導出することで、線形ローレンツ変換を超えた相対性原理の拡張を試みる。
• FL変換の幾何学的および運動論的結果を調査し、特に無限遠の相対性と新たな不変長尺度 $ R $ の出現を明らかにする。
• 光の速度が定数ではなく、$ c(t) = R/t $ と変化することを示し、$ R $ が観測可能な宇宙の不変半径を表すことを示す。
• FL変換のもとでもローレンツ共変性を保つエネルギー運動量および速度の4元ベクトルを構築する。
• この枠組みが宇宙論的赤方偏移に与える影響を検討し、ハッブルに類似した法則に類似した減少したハッブル定数を持つ修正された赤方偏移式の導出を試みる。

提案手法

• 空間時空座標における線形分数型変換としてのフォック＝ローレンツ変換の明示的形を、相対速度 $ \mathbf{u} $ をパrameterとして導出する。分母には関数 $ A(u) $, $ A_\mu(u) $ および係数 $ a_{\mu\nu}(u) $ を含む。
• 直接変換と逆変換の間の対称性（$ \mathbf{u} $ の符号の違いを除いて同一）を課すことによりスケーリングを固定し、一般形を二つの基本定数、すなわち光の速度 $ c $ と不変半径 $ R $ を含む標準形に簡略化する。
• 光錐および光子、ブラディオン、タキオンの世界線の幾何学的性質を分析し、無限遠がもはや不変でないことが示され、$ t=0 $ においてすべてのブラディオンが半径 $ R $ の球面上に集中していることを示す。
• FL変換のもとでもローレンツ共変性を保つ速度およびエネルギー運動量の4元ベクトルを構築する。
• 距離 $ r_2 $ 離れの源における赤方偏移式を導出し、速度 $ u $ と宇宙論的距離 $ r_2/R $ に依存することを示す。極限状態では標準的なドップラー赤方偏移およびハッブルに類似した赤方偏移と一致する。
• FL変換をフリードマン＝ロバチェフスキー幾何学と結びつけ、モデルが曲率半径 $ R $ の双曲的空間に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光の速度が事前に一定であると仮定せず、相対性原理だけから標準ローレンツ変換を超えるより一般化された変換を導くことは可能か？
• RQ2 フォック＝ローレンツ変換の幾何学的結果、特に無限遠の性質および時空構造に関してはどのようなものか？
• RQ3 この枠組みにおいて光の速度はどのように変化するのか？ そして新しい定数 $ R $ の物理的意味は何か？
• RQ4 エネルギー運動量および速度の4元ベクトルは、FL変換のもとでも一貫して定義可能であり、ローレンツ共変性を保つことができるか？
• RQ5 このモデルではどのようにして宇宙論的赤方偏移が生じるのか？ また、標準的なハッブルに類似した赤方偏移およびドップラーシフトと比較してどう異なるか？

主な発見

• 光の速度は一定ではなく、$ c(t) = R/t $ と時間に依存して変化する。$ t=0 $ は変換において特異点であり、すべてのブラディオンが半径 $ R $ の球面上に集中する。
• 観測可能な宇宙の半径を表す不変長尺度 $ R $ は、FL変換において基本定数として出現し、標準相対性理論における無限距離の代わりに機能する。
• 距離 $ L \ll R $ および時間 $ T \ll R/c $ の範囲では、FL変換は標準ローレンツ変換に還元され、局所的極限において一貫性を示す。
• 距離 $ r_2 $ 離れの静止光源における赤方偏移式は $ z+1 = \sqrt{\frac{R + r_2}{R - r_2}} $ であり、$ r_2 \ll R $ のとき $ z \approx r_2/R $ と近似され、ハッブルに類似した赤方偏移に類似する。
• このモデルにおけるハッブル定数は標準モデルと比較して2分の1に減少し、$ H_1 \approx c_1 / R $ となる。これは宇宙年齢が $ T = R / c_1 \approx 33 \times 10^9 $ 年と推定され、標準推定値の2倍に相当する。
• 超相対論的極限（$ u \approx -c_1 $）では、赤方偏移式が $ r_2 \approx R $ 近くの源に対して強力なブルーシフトを示し、宇宙論的境界領域における強い幾何的効果が顕在化する。