[論文レビュー] Fonctions de Mittag-Leffler et processus de Lévy stables sans saut négatif

Thomas Simon|ArXiv.org|Apr 14, 2009

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ハンケル曲線を用いた積分表現とベルンシュタインの定理を用いて、$ \alpha \in [1,2] $ に対して関数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ が完全モーナトニックであることを確立する。これにより、スペクトル的に正のレヴィ $ \alpha $-安定過程の上界に関する新しいウィーナー＝ホプフ因数分解恒等式が得られ、既知の小偏差定数が回復されるとともに、最初の通過時刻 $ T_1 $ の密度関数が二つの確率密度関数の凸結合として新たな表現が得られる。

ABSTRACT

It is noticed that a certain transform of the Mittag-Leffler function Ea is completely monotone for a in [1,2]. Using the explicit expressions of its Bernstein density, an identity in law between suprema of completely asymmetric Levy a-stable processes. In the spectrally positive case, we retrieve the exact expression of a unilateral small deviation constant which had been previously obtained by a different method by Bernyk, Dalang and Peskir.

研究の動機と目的

• 関数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ が $ \alpha \in [1,2] $ に対して完全モーナトニックであることを確立すること。
• 関数 $ D_\alpha $ の完全モーナトニック性を用いて、スペクトル的に正のレヴィ $ \alpha $-安定過程の上界に関する新しい分布の恒等式を導出すること。
• 新しい解析的アプローチを用いて、片側レヴィ安定過程の小偏差定数を回復すること。
• 最初の通過時刻 $ T_1 $ の密度関数の明示的積分表現を、二つの確率密度関数の凸結合として与えること。
• 新しい分解を用いて、$ T_1 $ の密度関数の構造を、独立な確率変数の積との関係から明確にすること。

提案手法

• $ 1/\Gamma(1+\alpha n) $ の積分表現を用いて、$ D_\alpha(x) $ をハンケル路に沿った contour 積分として表現すること。
• 解析接続およびコーシーの定理を用いて contour を変形し、$ D_\alpha(x) $ をラプラス型積分として表現すること。
• ベルンシュタインの定理を用いて、$ D_\alpha(x) $ が完全モーナトニックであることを導出し、それに付随するベルンシュタイン測度 $ \mu_\alpha $ を特定すること。
• 最初の通過時刻 $ T_1 $ のラプラス変換が $ \mathbb{E}[e^{-xT_1}] = D_\alpha(x) $ として得られ、ミットァグ＝レフラー関数と関連することを示すこと。
• 変数変換および contour 変形を用いて、ラプラス変換を、安定サブディレーターの最初の通過時刻 $ \hat{T}_1 $ の密度関数の項で表現すること。
• 密度関数 $ f_{T_1}(t) $ を凸結合として分解する：$ f_{T_1}(t) = (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) + (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $、ここで $ g_{\hat{T}_1} $ と $ h_{\hat{T}_1} $ は独立な確率変数の積の密度関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ D_\alpha(x) = E_\alpha(x^\alpha) - \alpha x^{\alpha-1} E_\alpha'(x^\alpha) $ は $ \alpha \in [1,2] $ に対して完全モーナトニックか？
• RQ2 関数 $ D_\alpha(x) $ の完全モーナトニック性を用いて、スペクトル的に正のレヴィ $ \alpha $-安定過程の上界に関する新しい分布の恒等式を導出できるか？
• RQ3 スペクトル的に正の安定過程（指数 $ \alpha \in (1,2) $）の最初の通過時刻 $ T_1 $ の密度関数の明示的構造は何か？
• RQ4 ベルンシュタイン表現を用いて、$ T_1 $ のラプラス変換を二つの確率密度関数の凸結合に分解できるか？
• RQ5 $ g_{\hat{T}_1} $ と $ f_{\hat{T}_1} $ の密度関数の関係は何か？ また、これにより $ f_{T_1} $ の漸近的挙動はどのように関連するか？

主な発見

• ハンケル曲線を用いた積分表現とベルンシュタインの定理を用いて、すべての $ \alpha \in [1,2] $ に対して関数 $ D_\alpha(x) $ が完全モーナトニックであることが証明された。
• 関数 $ D_\alpha(x) $ の完全モーナトニック性から、スペクトル的に正のレヴィ $ \alpha $-安定過程の上界と安定サブディレーターの関数的関係に関する新しい分布の恒等式が導かれた。
• 最初の通過時刻 $ T_1 $ の密度関数は $ f_{T_1}(t) = (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) + (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $ として与えられ、二つの確率密度関数の凸結合である。
• 最初の項 $ (1/\alpha) g_{\hat{T}_1}(t) $ は $ f_{T_1}(t) $ の原点近傍での挙動を支配し、第二の項 $ (1-1/\alpha) h_{\hat{T}_1}(t) $ は無限大における挙動を支配する。
• $ g_{\hat{T}_1}(t) $ が正であることが示され、積分変換を介して $ f_{\hat{T}_1}(t) $ と関連づけられ、非自明な正の性質の問題が解決された。
• 関数 $ D_\alpha(x) $ に付随するベルンシュタイン測度は明示的に $ \mu_\alpha(dt) = \frac{(-\sin\pi\alpha)t^{\alpha-1}(1+t)}{\pi(t^{2\alpha} - 2t^\alpha \cos\pi\alpha + 1)} dt $ として与えられる。