[論文レビュー] Formal GNS Construction and WKB Expansion in Deformation Quantization

Martin Bordemann, Stefan Waldmann|ArXiv.org|Nov 4, 1996

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、正確な1次形式dSのグラフとして定義される、投影可能ラグランジュ部分多様体に台を持つ正の線形汎関数を用いて、変形量力学における形式的GNS構成を確立する。Sの適切なスター指数関数を導入することで、平坦な2n次元位相空間におけるWKB展開をGNS枠組み内で再定式化し、変形量力学における半古典的状態の厳密な代数的基盤を提供する。

ABSTRACT

In this contribution we review the formal GNS construction developped in a previous preprint (q-alg/9607019), and formulate the usual WKB-expansion in flat 2n-dimensional phase space in terms of a GNS construction with a positive linear functional with support on a projectable Lagrangean submanifold defined as a graph of an exact one form dS. The main trick is a suitable form of the star-exponential of S.

研究の動機と目的

• 半古典的状態のためのC*-代数的枠組みを提供するように、形式的GNS構成を変形量力学へ拡張すること。
• 幾何的および代数的構造を用いて、平坦な2n次元位相空間におけるWKB展開を再定式化すること。
• 正確な1次形式dSのグラフとして得られるラグランジュ部分多様体に台を持つ正の線形汎関数を定義すること。
• 作用Sの適切なスター指数関数を介して、半古典的状態とGNS構成との間の関係を確立すること。
• 変形量力学の文脈において、WKB法の厳密な代数的定式化を提供すること。

提案手法

• 以前のpreprint（q-alg/9607019）における形式的GNS構成を基礎枠組みとして用いる。
• スター積代数上の正の線形汎関数を、投影可能ラグランジュ部分多様体に台を持つように定義する。
• ラグランジュ部分多様体を、ラグランジュ的基底多様体上での正確な1次形式dSのグラフとして表現する。
• GNS構成と整合するように保証するため、関数Sの特定のスター指数関数の形を導入する。
• GNS構成を適用して、形式的べき級数のヒルベルト空間上のスター積代数の*-表現を生成する。
• このGNS枠組み内で半古典的極限としてWKB展開を導出し、幾何的量力学と変形量力学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的GNS構成は、半古典的状態のための変形量力学にどのように適合可能か？
• RQ2 dSのグラフとして得られるラグランジュ部分多様体は、正の線形汎関数を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Sのスター指数関数は、変形量力学における一貫性のあるWKB展開をどのように可能にするか？
• RQ4 GNS構成は、平坦な位相空間における標準的WKB近似をどのように回復するか？
• RQ5 幾何的データを用いて、WKB法を変形量力学の形式的枠組みに体系的に埋め込むことは可能か？

主な発見

• 形式的GNS構成が変形量力学へ成功裏に拡張され、半古典的状態が正の線形汎関数として取り扱えるようになった。
• 正の線形汎関数は、正確な1次形式dSのグラフである投影可能ラグランジュ部分多様体に台を持つように構成された。
• 平坦な2n次元位相空間におけるWKB展開は、Sのスター指数関数を用いたGNS構成として再定式化された。
• Sのスター指数関数は、GNS枠組みとスター積代数との整合性を保証するように定義された。
• 得られたGNS表現は、形式的べき級数のヒルベルト空間をもたらし、半古典的極限と整合的であった。
• この構成により、半古典的領域における幾何的量力学と変形量力学の間の厳密な代数的ブリッジが確立された。