[論文レビュー] Formal Groups, Witt vectors and Free Probability

R. Friedrich, John McKay|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、自由確率論、ウィット代数的ベクトル、および形式的群の法則の間の深い関係を確立し、ボイクルスキーの自由乗法的畳み込みが、自由加法的畳み込みに基づく指数写像を用いて表現できることを示している。主な結果は、一般の $ n $ 番目の自由コマリントが $ \mathbb{C}P^{n-1} $ の複素コボルディズム類に対応することであり、これにより確率行列の分布と生成関数の間の辞書が可能となり、すべての平均ゼロ確率測度がKP階層と $ \tau $-関数を介してサトウ＝セガル＝ウィルソンのグラスマン多様体に埋め込まれることを証明している。

ABSTRACT

We establish a link between free probability theory and Witt vectors, via the theory of formal groups. We derive an exponential isomorphism which expresses Voiculescu's free multiplicative convolution $\boxtimes$ as a function of the free additive convolution $\boxplus$. Subsequently we continue our previous discussion of the relation between complex cobordism and free probability. We show that the generic $n$th free cumulant corresponds to the cobordism class of the $(n-1)$-dimensional complex projective space. This permits us to relate several probability distributions from random matrix theory to known genera, and to build a dictionary. Finally, we discuss aspects of free probability and the asymptotic representation theory of the symmetric group from a conformal field theoretic perspective and show that every distribution with mean zero is embeddable into the Universal Grassmannian of Sato-Segal-Wilson.

研究の動機と目的

• 形式的群の法則を介して自由確率論とウィット代数的ベクトル理論の間の正式な関係を確立すること。
• 自由乗法的畳み込みを自由加法的畳み込みに基づく指数写像で表現する関係を導出すること。
• 自由コマリントと複素コボルディズム類、特に $ \mathbb{C}P^{n-1} $ の間の対応関係を確立し、代数的トポロジーにおける生成関数と関連付けること。
• KP階層と $ \tau $-関数を用いて、すべての平均ゼロ確率測度をサトウ＝セガル＝ウィルソンのグラスマン多様体の大きなセルに埋め込むこと。
• 確率行列理論の分布と複素コボルディズムにおける既知の生成関数の間の辞書を構築すること。

提案手法

• 形式的群の法則の理論を用いて、自由加法的畳み込みと乗法的畳み込みをウィット代数的ベクトル構造に関連付ける。
• $ S $-変換と $ R $-変換を適用し、加法的畳み込み群と乗法的畳み込み群の間の指数写像 $ \operatorname{EXP} $ を導出する。
• 自由加法的および乗法的畳み込み群を表すホップ代数が、ウィット代数的ベクトルのそれらと同型であることを特定する。
• クリチェバー埋め込みとKP階層を用いて、グラスマン多様体を形式的座標付きの曲線のモジュライ空間として実現する。
• ウィット代数的ベクトル環 $ \Lambda $ からグラスマン多様体の大きなセル $ \operatorname{Gr}_0 $ への $ \operatorname{KSU} $ 写像を用いる。
• 行列式ラインバンドル上のVirasoro代数の作用を適用し、測度の空間に conformal field theory 構造を付与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由乗法的畳み込みは、指数写像を介して自由加法的畳み込みの関数としてどのように表現できるか？
• RQ2 自由コマリントと複素射影空間のコボルディズム類の間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 すべての平均ゼロ確率測度が $ \tau $-関数と可積分系を用いてサトウ＝セガル＝ウィルソンのグラスマン多様体に埋め込めるか？
• RQ4 複素コボルディズムにおける生成関数は、確率行列理論からの確率分布とどのように関係するか？
• RQ5 形式的群の法則とウィット代数的ベクトルは、自由確率論を代数的トポロジーと conformal field theory で統合する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 自由乗法的畳み込み $ \boxtimes $ は、指数写像 $ \operatorname{EXP} $ を介して自由加法的畳み込み $ \boxplus $ と同型であり、古典的な対数-指数関係に類似している。
• $ n $ 番目の自由コマリントは $ \mathbb{C}P^{n-1} $ の複素コボルディズム類に対応し、自由確率論と複素コボルディズムの間の直接的な関係を確立する。
• 自由加法的および乗法的畳み込み群は、形式的群の法則としてウィット代数的ベクトルに由来するものと同型であり、関連するホップ代数も同型である。
• $ \operatorname{KSU} $ 写像は、ウィット代数的ベクトル環 $ \Lambda $ をサトウ＝セガル＝ウィルソンのグラスマン多様体の大きなセル $ \operatorname{Gr}_0 $ に埋め込む。
• すべての平均ゼロ確率測度は、$ \operatorname{Kerov} $、$ \operatorname{EXP} $、$ S $、および $ \operatorname{KSU} $ 写像の合成を介して $ \operatorname{Gr}_0 $ に埋め込める。
• 中心指数1のVirasoro代数が $ \operatorname{Gr}_0 $ 上の行列式ラインバンドルに作用し、測度の空間に conformal field theory 構造を付与する。