[論文レビュー] Formality and hard Lefschetz property of aspherical manifolds

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、部分群がほとんどアーベル的であるような非球面的多様体が、その単純化された包合体がアーベルである場合、形式的であり、ハード・リーフシェッツ性質を満たすことを確立している。基本群の代数的包合体を用いて、特定の可解リー群 $\mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ における格子の有限被覆が、形式的でハード・リーフシェッツ性質を満たす可解多様体を生成することを証明しており、その多くはケーラー構造を持たない。

ABSTRACT

For a Lie group $G=\R^{n}\ltimes_ϕ\R^{m}$ with the semi-simple action $ϕ:\R^{n} o { m Aut}(\R^{m})$, we show that if $Γ$ is a finite extension of a lattice of $G$ then $K(Γ, 1)$ is formal. Moreover we show that a compact symplectic aspherical manifold with the fundamental group $Γ$ satisfies the hard Lefschetz property. By those results we give many examples of formal solvmanifolds satisfying the hard Lefschetz property but not admitting Kähler structures.

研究の動機と目的

• virtually polycyclic 群 $\Gamma$ に対して関連する $K(\Gamma,1)$ 空間が形式的であるための条件を同定すること。
• そのような基本群をもつコンパクトなシンプレクティック非球面的多様体に対してハード・リーフシェッツ性質を調査すること。
• ケーラー構造を持たないが、形式的かつハード・リーフシェッツ性質を満たす多様体の明示的例を構成すること。
• 単純化された包合体と代数的包合体が形式的性およびハード・リーフシェッツ性質を決定する役割を明確にすること。
• 代数的包合体を用いた構成的枠組みを提供し、可解多様体およびインフラ可解多様体のコホモロジー的性質を分析すること。

提案手法

• トーショントルションをもたない virtually polycyclic 群 $\Gamma$ の代数的包合体 $\mathbf{H}_\Gamma$ を用い、$\Gamma$ から $\mathbf{H}_\Gamma$ への一意的な単射準同型 $\psi: \Gamma \to \mathbf{H}_\Gamma$ が存在し、その像がザリスキ密であることを示す。
• 単純化された包合体 $\mathbf{U}_\Gamma$ を $\mathbf{H}_\Gamma$ の単純化された部分群として定義し、$K(\Gamma,1)$ の形式的性が $\mathbf{U}_\Gamma$ がアーベルであることと同値であることを証明する。
• Baues による標準的 $\Gamma$-多様体 $M_\Gamma$ の構成を用いて、$K(\Gamma,1)$ をコンパクトな非球面的多様体として実現し、de Rham コホモロジーを計算可能にする。
• $\bigwedge \mathfrak{u}^*$ の $\{\pm1\}$-不変部分複体と de Rham 複体 $A^\ast(M_\Gamma)$ の間の準同型写像を用いて、形式的性を分析する。
• $\omega = x_1 \wedge y + x_2 \wedge x_3$ という不変2次形式を用いて、$M_\Gamma \times S^1$ 上にシンプレクティック形式を構成し、ハード・リーフシェッツ性質を検証する。
• 単純化された包合体の Lie 環 $\mathfrak{u}$ 上での $\{\pm1\}$ の作用を分析し、不変部分複体のコホモロジーを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 virtually polycyclic 群 $\Gamma$ に対して、$K(\Gamma,1)$ 空間が形式的であるための条件は何か？
• RQ2 基本群が $\Gamma$ であるコンパクトなシンプレクティック非球面的多様体がハード・リーフシェッツ性質を満たすのはいつか？
• RQ3 単純化された包合体 $\mathbf{U}_\Gamma$ がアーベルであることは、形式的性およびハード・リーフシェッツ性質の両方の十分条件となるか？
• RQ4 非アーベル的かつタイプ (I) でない可解リー群から生じる、ケーラー構造を持たないが形式的かつハード・リーフシェッツ性質を満たす多様体の例は存在するか？
• RQ5 リーフシェッツ性質を満たさない多様体の有限被覆が、依然としてハード・リーフシェッツ性質を満たすことはあり得るか？ そしてそれは基本群の構造とどのように関係するか？

主な発見

• トーショントルションをもたない virtually polycyclic 群 $\Gamma$ の単純化された包合体 $\mathbf{U}_\Gamma$ がアーベルであることは、$\Gamma$ が $\phi$ が半単純なリー群 $G = \mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ の格子の有限被覆であることと同値である。
• $\mathbf{U}_\Gamma$ がアーベルであれば、$K(\Gamma,1)$ は形式的である。これは、不変部分複体 $\bigwedge \mathfrak{u}^{* \{\pm1\}}$ 上での微分の自明性によって示される。
• 上記の条件を満たす基本群 $\Gamma$ をもつコンパクトなシンプレクティック非球面的多様体は、ハード・リーフシェッツ性質を満たす。これは、同型写像 $[\omega] \wedge: H^1 \to H^3$ によって示された。
• $\Gamma = \mathbb{Z} \ltimes_\phi \mathbb{Z}^2$ で、$\phi(t)$ が与えられた場合に構成される多様体 $M_\Gamma$ は、一般には $U_\Gamma$ が非アーベル的であるが、形式的かつハード・リーフシェッツ性質を満たす。
• $M_\Gamma \times S^1$ は4次元のコンパクトなシンプレクティック非球面的多様体であり、ハード・リーフシェッツ性質を満たすが、その有限被覆 $M_\Delta$（$\Delta = \Gamma \times \mathbb{Z}$）は性質を満たさない。
• ケーラー構造を持たないが、形式的かつハード・リーフシェッツ性質を満たす多様体が存在する。たとえば、$G = \mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ がタイプ (I) でない場合の $M_\Gamma$ は、ケーラー性に対する明示的反例を提供する。