[論文レビュー] Formality of canonical symplectic complexes and Frobenius manifolds

Sergei Merkulov|ArXiv.org|May 15, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、ハード・リーフシェッツ条件を満たすシンプレクティック多様体のde Rham複体が形式的であることを確立し、そのシンプレクティック構造に関連する微分Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski代数を用いて、de Rhamコホモロジー上にFrobenius多様体構造を構成する。この構成は、Maurer-Cartan方程式の形式的解と標準的積分ペアリングに依存し、Barannikov-Kontsevichの枠組みをシンプレクティック幾何学へ一般化する。

ABSTRACT

It is shown that the de Rham complex of a symplectic manifold $M$ satisfying the hard Lefschetz condition is formal. Moreover, it is shown that the differential Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski algebra associated to such a symplectic structure gives rise, along the lines explained in the papers of Barannikov and Kontsevich [alg-geom/9710032] and Manin [math/9801006], to the structure of a Frobenius manifold on the de Rham cohomology of $M$.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau Dolbeault複体からのFrobenius多様体の構成を、ハード・リーフシェッツ条件を満たすシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• 標準的微分Δを用いて、ハード・リーフシェッツ条件の下でのde Rham複体の形式性を確立すること。
• このようなシンプレクティック多様体に関連する微分Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski代数が、de Rhamコホモロジー上にFrobenius多様体構造を導くこと。
• Maurer-Cartan方程式の形式的解を通じて、Barannikov-KontsevichおよびManinの枠組みをシンプレクティック幾何学へ一般化すること。

提案手法

• 超多様体ΠTMを用いて、奇数次元ベクトル場dおよび構造層O_M上の2階微分作用素L*を定義する。
• Δ = [L*, d] と定義し、Δ² = 0および[Δ, d] = 0を満たし、de Rham同型写像の下で*d*に対応することを示す。
• ハード・リーフシェッツ条件、(Ω*M, Δ)のコホモロジー的形式性、およびシンプレクティック調和代表元の存在の同値性を用いて、de Rham複体の形式性を証明する。
• K⊗Ω*MにおけるMaurer-Cartan方程式dΓ + ½[Γ, Γ] = 0の形式的解Γを構成し、Γ₁ = ∑xⁱcᵢおよびn ≥ 2でΓₙ ∈ Im Δを満たすようにする。
• ψ([cᵢ]) = ∂Γ/∂xⁱにより、H_K = K⊗H*(M, ℂ)上に積を定義し、Im d_Γをモジュロとして超可換積を誘導する。
• 積分∫_Mと双対性の性質を用いて、Frobenius多様体の公理（特に潜在関数ΦとEulerベクトル場の存在）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハード・リーフシェッツ条件を満たすシンプレクティック多様体のde Rham複体は、形式的構造を有するか？
• RQ2 このような多様体の微分Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski代数は、de Rhamコホモロジー上にFrobenius多様体構造を導くか？
• RQ3 シンプレクティック幾何学の文脈において、ハード・リーフシェッツ条件を満たす形式的Maurer-Cartan方程式の解が標準的に存在するか？
• RQ4 ハード・リーフシェッツ条件の下で、標準的コホモロジーΔ複体はde Rhamコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 積分ペアリング∫_Mは、Frobenius多様体構造を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ハード・リーフシェッツ条件を満たすシンプレクティック多様体のde Rham複体は、形式的である。これは、dΔの像がIm d ∩ Ker Δに一致することに起因する。
• Ω*M上の微分Δは、シンプレクティックHodgeスター作用素の下でΔ|ΩᵏM = (−1)ᵏ⁺¹* d *を満たし、双対性と関連する。
• (Ω*M, Δ)のコホモロジーは、ハード・リーフシェッツ条件が成り立つ場合に限り、de Rhamコホモロジーと同型である。
• K⊗Ω*Mにおいて、Γ₁ = ∑xⁱcᵢおよびn ≥ 2でΓₙ ∈ Im Δを満たすMaurer-Cartan方程式の形式的解Γが存在し、Frobenius構造と整合的であることが保証される。
• H*(M, ℂ)上の積は潜在的であり、潜在関数はΦ = ∫_M (⅙Γ³ − ½dBΔB)で与えられ、計量gᵢⱼ = ∫_M [cᵢ] ∧ [cⱼ]はPoincaréペアリングである。
• H*(M, ℂ)上に得られる構造はFrobenius多様体であり、平坦計量、可換かつ結合的積、およびEulerベクトル場を備えている。