[論文レビュー] Formality of derived intersections

Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多様体 $Z$ 内の量子化された解析的サイクル $X$ と滑らかな部分多様体 $Y$ の導来交叉が、導来圏 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ で形式的であるための必要十分条件を確立する。形式的であることは、かつそれが、連続的余接過剰系列 $0\to\mathcal{E}\to\widehat{N}^*\to N^*_{T/Y}\to 0$ がホロモーフィックに分裂することと同値であり、自己交叉に関する Arinkin-Cáldáraru の結果を、量子化仮定の下での線形交叉へ一般化する。

ABSTRACT

We study derived intersections of smooth analytic cycles, and provide in some cases necessary and sufficient conditions for this intersection be formal. In particular, if X is a complex submanifold of a complex manifold Y, we prove that X can be quantized if and only if the derived intersection of XxX and Δ_Y is formal in D(XxX).

研究の動機と目的

• 導来交叉の形式的性基準を、自己交叉に限らず、より一般的な線形交叉へ拡張すること。
• 特に $X$ が量子化された解析的サイクルである場合に、導来テンソル積 $\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Z} \mathcal{O}_Y$ が $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で形式的である条件を同定すること。
• 導来圏内での形式的性の鍵となる条件として、余接過剰系列のホロモーフィック分裂を特徴づけること。
• 非横断的交叉を理解するための導来圏フレームワークを、特に量子化サイクルの文脈で提供すること。

提案手法

• 本稿は、導来圏 $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ を用いて、導来交叉 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ の形式的性を分析する。
• アティヤの準同型と随伴を適用し、$\vartheta \to N^*_{X/Y}[1]$ を誘導する準同型を構成する。この準同型は、局所コホロロジーの次数 $-1$ で同型を誘導し、切断に関する議論を可能にする。
• 証明は、切断レベルに関する帰納法に基づき、$j_*\vartheta$ 上の環構造とウェッジ積を用いて、乗法的写像が切断された対象を通して因数分解されることを示す。
• 特に、$\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ が形式的であることと、$N^*_{X/Y}$ が $X$ における $Y$ の最初の無限小近傍へ拡張できることとは同値であり、これにより形式的性と再帰的射影の存在が結びつく。
• 主な技術的道具は、対称積から切断された導来交叉への準同型写像を構成するための反対称化準同型の使用である。
• 重要な同型 $\mathcal{H}^{-p}(\vartheta) \cong \Lambda^p \mathcal{E}$ を用い、導来交叉のコホロロジーを過剰バンドルの外積のべきと特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が量子化された解析的サイクルであり、$X \cap Y$ が線形であるとき、導来交叉 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ が $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で形式的である条件は何か？
• RQ2 連続的余接過剰系列 $0 \to \mathcal{E} \to \widehat{N}^* \to N^*_{T/Y} \to 0$ のホロモーフィック分裂は、導来交叉の形式的性とどのように関係するか？
• RQ3 すべての $p \geq 0$ に対して、切断された導来交叉 $\tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} (\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X)$ が形式的であることを示せるか？ そして、これは完全な形式的性に何を意味するか？
• RQ4 $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ が $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で形式的である一方で、$\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} \vartheta$ が $\mathrm{D}^\mathrm{b}(X)$ 内で形式的でないのはなぜか？ これは $j_*$ の非忠実性をどのように示唆するか？
• RQ5 $j_*\vartheta$ 上の環構造は、$\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で、切断された対称べきと外積べきの間の準同型写像を構成するためにどの程度利用可能か？

主な発見

• 導来交叉 $j_{Y/Z}^* j_{X/Z*} \mathcal{O}_X$ が $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で形式的であることと、連続的余接過剰系列 $0 \to \mathcal{E} \to \widehat{N}^* \to N^*_{T/Y} \to 0$ がホロモーフィックに分裂することは同値である。
• 任意の $p \geq 0$ に対して、切断された対象 $\tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} (\mathcal{O}_X \otimes^\mathrm{L}_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X)$ は $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で形式的であり、$\Lambda^p N^*_{X/Y}[p] \oplus \Lambda^{p+1} N^*_{X/Y}[p+1]$ へ準同型写像を介して同型である。
• $\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内で $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta$ が形式的であることと、$N^*_{X/Y}$ が $X$ における $Y$ の最初の無限小近傍へホロモーフィックに拡張できることとは同値であり、これは $X$ が量子化されていることと同値である。
• 準同型 $\theta: \tau^{\geq -(p+1)} (\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} j_*\vartheta)^{\otimes p} \to \tau^{\geq -(p+1)} \tau^{\leq -p} j_*\vartheta$ は、コホロロジー上のウェッジ積によって誘導され、準同型写像である。
• $j_*\vartheta$ 上の環構造により、乗法的写像が切断された対称べきを通して因数分解され、これにより外積べきへの準同型写像の構成が可能になる。
• $j_*$ の非忠実性は、$\mathrm{D}^\mathrm{b}(X)$ 内で $\tau^{\geq -2} \tau^{\leq -1} \vartheta$ が形式的でないのに対し、$\mathrm{D}^\mathrm{b}(Y)$ 内では形式的であるという事実に現れている。