[논문 리뷰] Formality of the homotopy calculus algebra of Hochschild (co)chains

Vasiliy Dolgushev, Dmitry Tamarkin외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 $\mathbb{K}$ 위의 임의의 매끄러운 대수기하 구조 $X$ 에 대해, 그 구조층 $\mathcal{O}_X$ 의 정규화된 호크시ลด (co)체인의 층에 대한 호모토피 계산법 대수적 구조의 형식성을 확립한다. 콘체비치-소이벨만의 실린더 위의 작은 원판 작용소에 대한 형식성 정리에 기반하여, 저자들은 호모토피 계산법 대수가 다항벡터장과 미형식의 층으로 구성된 엄밀한 계산법 대수와 quasi-isomorphic하다는 것을 증명하며, 윌러처의 순환 형식성 결과를 일반화하고 칼라루의 추측의 핵심 케이스를 확인한다.

ABSTRACT

The Kontsevich-Soibelman solution of the cyclic version of Deligne's conjecture and the formality of the operad of little discs on a cylinder provide us with a natural homotopy calculus structure on the pair (C^*(A), C_*(A)) ``Hochschild cochains + Hochschild chains'' of an associative algebra A. We show that for an arbitrary smooth algebraic variety X with the structure sheaf O_X the sheaf (C^*(O_X), C_*(O_X)) of homotopy calculi is formal. This result was announced in paper [29] by the second and the third author.

연구 동기 및 목표

• Hochschild 코체인에 대한 호모토피 게르스텐하버 대수의 형식성을 Hochschild 코체인과 체인의 쌍에 대한 완전한 호모토피 계산법 대수적 구조로 확장하는 것.
• 매끄러운 대수기하 구조의 구조층 $\mathcal{O}_X$ 에 대한 호모토피 계산법 층이 형식적임을 증명하는 것, 즉 엄밀한 계산법 대수와 quasi-isomorphic하다는 것.
• 윌러처의 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-대수에 대한 순환 형식성 정리의 일반화를 통해 특성 0인 체 위의 임의의 매끄러운 다양체에 대해 적용하는 것.
• 순환 형식성 추측의 층 이론적 기초를 제공하고, Hochschild (co)호모로지에의 응용을 위한 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 작은 원판 작용소의 실린더 위에 대한 콘체비치-소이벨만 작용소와 작용소를 이용하여, 결합된 대수의 정규화된 Hochschild (co)체인 복합체에 대한 호모토피 계산법 구조를 구성한다.
• 실린더 위의 작은 원판 작용소에 대한 형식성 정리를 적용하여, 호모토피 계산법을 다항벡터장과 미형식의 층에 대한 표준 계산법의 변형으로 실현한다.
• 복합체의 초호모로지( hypercohomology )를 이용하여, 호모토피 계산법 층 $ (C^{\bullet}_{ \text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 과 엄밀한 계산법 층 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ 사이의 quasi-isomorphism 을 구성한다.
• 게르스텐하버 대수에 대한 모리타 동치와 환의 포함 대수 구조를 이용하여, 호모토피 계산법과 기초적인 대수적 구조 간의 관계를 규명한다.
• [23] 에서의 실린더 작용소의 호모로지 및 콘체비치-소이벨만 작용소의 성질에 기반한 결과를 활용하여, 필요한 형식성 등장사상(isomorphism)을 확립한다.
• 복소수나 실수 매끄러운 다양체에 대해 증명을 일반화하기 위해, $\mathcal{O}_X$ 를 각각 해석적 함수나 $C^\infty$ 함수의 층으로 대체한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 위의 매끄러운 대수기하 구조 $X$ 에 대해, $\mathcal{O}_X$ 의 Hochschild (co)체인에 대한 호모토피 계산법 대수적 구조는 형식적인가?
• RQ2 Hochschild (co)체인에 대한 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-대수의 형식성은 체인 모듈러스의 구조를 포함한 전체 계산법 대수로 확장될 수 있는가?
• RQ3 복합체 $ (C^{\bullet}_{ \text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 에서의 호모토피 계산법은 다항벡터장과 미형식의 층에 대한 고전적 계산법과 quasi-isomorphic한가?
• RQ4 윌러처의 순환 형식성 정리에서 $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$ 라는 조건은 특성 0인 임의의 체 위의 매끄러운 다양체에 대해 제거될 수 있는가?
• RQ5 카타네오와 펠더가 구성한 $L_\infty$ 사상과 이 논문에서 확립된 형식성 등장사이는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 특성 0인 체 $\mathbb{K}$ 위의 매끄러운 대수기하 구조 $X$ 에 대해, 호모토피 계산법 층 $ (C^{\bullet}_{ \text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 는 형식적이다. 즉, 엄밀한 계산법 층 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ 와 quasi-isomorphic하다.
• 이 형식성 결과는 윌러처의 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-대수에 대한 순환 형식성 정리를 일반화하며, $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$ 라는 조건을 제거하였다.
• Hochschild 호모로지 $HH^{\bullet}(X)$ 와 Hochschild 호모로지 $HH_{\bullet}(X)$ 는 $\mathbf{comm}^+$-대수로서 $ (H^{\bullet}(X, V^{\bullet}_X), H^{\bullet}(X, \Omega^{-\bullet}_X)) $ 와 동형이 되며, 이는 칼라루의 추측의 핵심 부분을 확인한다.
• 복소수 다양체와 실수 매끄러운 다양체에 대해서도 이 결과는 성립하며, 이 경우 $\mathcal{O}_X$ 는 각각 해석적 함수나 $C^\infty$ 함수의 층으로 대체된다.
• 실수 다양체에서 호모토피 계산법 층의 전역 단위(global sections)는 관련된 층들이 부드럽기 때문에, 고전적 계산법 층의 전역 단위와 quasi-isomorphic하다.
• 이 증명은 호모토피 계산법의 형식성과 순환 형식성 추측 사이의 연결고리를 확립하며, 반 덴 베르크의 이중성과 카타네오-펠더의 작업과의 깊은 연관성을 시사한다.