[論文レビュー] Formes automorphes et theoremes de Riemann-Roch arithmetiques

Vincent Maillot, Damian Rössler|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、算術リーマン・ローチ定理と算術リークスチェルツのトレース公式を用いて、3つの族の自己形式の算術幾何的起源を確立する。ヨシカワのシーゲルモジュラー形式とイグザ型形式が、基になる空間に整数的モデルを持つとき、代数的かつ整数的であることを証明し、固定点を持たない自己同型をもつK3表面のモジュライ空間上の特定の自己形式が算術的に生じることを示し、ボルツァースの $Φ$-関数が算術的起源を持つことを確認する。

ABSTRACT

Nous construisons trois familles de formes automorphes au moyen du theoreme de Riemann-Roch arithmetique et de la formule de Lefschetz arithmetique. Deux de ces familles ont deja ete construites par Yoshikawa et notre construction met en lumiere leur origine arithmetique. ----- We construct three families of automorphic forms following the arithmetic Riemann-Roch theorem and the arithmetic Lefschetz formula. Two of these families were already constructed by Yoshikawa and our construction illuminates their arithmetic origin.

研究の動機と目的

• 解析的表現を持つ3つの族の自己形式の算術幾何的解釈を提供すること。
• 基になる空間に整数的モデルが存在する場合、これらの自己形式が代数的かつ整数的であることを確立すること。
• 従来解析的に構成されたヨシカワのシーゲルモジュラー形式とイグザ型形式の算術的起源を明確にすること。
• 固定点を持たない自己同型をもつK3表面のモジュライ空間上の自己形式がボルツァースの $Φ$-関数と一致し、算術幾何から生じることを示すこと。
• 将来の悪還元におけるモジュラー形式の退化の研究のため、有限ファイバーに不規則性を許容する算術リークスチェルツトレース公式の予想的拡張を提起すること。

提案手法

• 1次の算術リーマン・ローチ定理を用い、標準的計量をもつ算術的ラインバンドルから自己形式を構成する。
• 算術リークスチェルツトレース公式を適用し、コホモロジー上の自己準同型のトレースを固定点集合上の幾何的データに関連付ける。
• 3つの族の自己形式を構成する：(1) ヨシカワの構成によるシーゲルモジュラー形式、(2) あらい定数の積としてのイグザ型形式、(3) 固定点を持たない自己同型をもつK3モジュライ空間上の算術的ラインバンドルを係数にもつ自己形式。
• チャーン類とチャウ理論を用いたトータル・クラスの計算を通じて、シータ除数埋め込みの主要な幾何的性質を確立するため、ガウス写像を用いる。
• ラインバンドル上のモレット＝ベイユ計量と、アーベルスキーム上の誘導されたケーラー構造を用い、算術的特徴類を定義する。
• 有限ファイバーに不規則性を許容する、$μ_n$-可換構造と局所化可能な逆元をもつグロテンディーク群を用いた、予想的な算術リークスチェルツ公式を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヨシカワのシーゲルモジュラー形式の解析的構成は、算術リーマン・ローチ定理とリークスチェルツトレース公式を用いて算術幾何的起源を与えられるか？
• RQ2 偶数のシータ定数の積として構成されたイグザ型モジュラー形式は、基になる空間に整数的モデルが存在する場合、代数的かつ整数的か？
• RQ3 固定点を持たない自己同型をもつK3表面のモジュライ空間上の自己形式は算術幾何から生じるのか？ また、ボルツァースの $Φ$-関数と一致するか？
• RQ4 モジュライ空間の文脈において、算術リーマン・ローチ定理が自己形式の整数的・代数的性質を証明する役割を果たすか？
• RQ5 算術リークスチェルツトレース公式は、有限ファイバーに不規則性を許容する形に拡張可能か？ また、その結果、悪還元下でのモジュラー形式の退化にどのような影響を及えるか？

主な発見

• ヨシカワが構成した最初のシーゲルモジュラー形式族が、基になる空間に整数的モデルを持つ場合、代数的かつ整数的であることが示され、ヨシカワのフーリエ係数に関する予想の弱形が証明された。
• 2番目の族、偶数のシータ定数の積としてのイグザ型形式が、同じ算術幾何的道具立てによって代数的かつ整数的であることが証明された。
• 3番目の族、固定点を持たない自己同型をもつK3表面のモジュライ空間上の自己形式族が、ボルツァースの $Φ$-関数と一致し、算術的起源を持つことが示された。
• 本稿は、切断 $t$ の $L^2$-ノルムに関わる重要な恒等式を証明し、$|t|_{L^2}^{-1/(4\kappa)}$ が算術的特徴類の積と、算術的ラインバンドルの1番目のチャーン類を含む指数項の積に等しいことを示した。
• 悪還元下でのモジュラー形式の退化を扱うため、有限ファイバーに不規則性を許容する算術リークスチェルツトレース公式の予想的拡張が提起された。特に、数体上で定義された自己同型をもつK3表面が有限素点で悪還元を示す場合に有効である。
• ガウス写像の次数が $g!$ に等しいことが計算され、写像が一般に有限であることが確認され、自己形式の構成の幾何的基盤が得られた。