[論文レビュー] Formulas for Counting the Sizes of Markov Equivalence Classes of Directed Acyclic Graphs

Yangbo He, Bin Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、支配頂点を含まない無向弦的グラフである「コアグラフ」という新しい概念を導入し、有向非巡回グラフ（DAG）のマルコフ同値クラス（MEC）のサイズを明示的な多項式式で求めるための新手法を提案する。MECのサイズは支配頂点の数に関する多項式であることが示され、著者らは再帰的および記号計算に基づくアルゴリズムを提供し、特に非スパースな無向部分グラフを有するMECに対して、その多項式式を効率的に導出・適用する。

ABSTRACT

The sizes of Markov equivalence classes of directed acyclic graphs play important roles in measuring the uncertainty and complexity in causal learning. A Markov equivalence class can be represented by an essential graph and its undirected subgraphs determine the size of the class. In this paper, we develop a method to derive the formulas for counting the sizes of Markov equivalence classes. We first introduce a new concept of core graph. The size of a Markov equivalence class of interest is a polynomial of the number of vertices given its core graph. Then, we discuss the recursive and explicit formula of the polynomial, and provide an algorithm to derive the size formula via symbolic computation for any given core graph. The proposed size formula derivation sheds light on the relationships between the size of a Markov equivalence class and its representation graph, and makes size counting efficient, even when the essential graphs contain non-sparse undirected subgraphs.

研究の動機と目的

• 因果発見におけるマルコフ同値クラス（MEC）のサイズを、特に本質的グラフに非スパースな無向部分グラフを含む場合に、効率的に数える課題に対処すること。
• 本質的グラフの構造的性質に基づいて、MECサイズの閉形式多項式式を体系的に導出するための方法を開発すること。
• 支配頂点を含まない弦的無向グラフである「コアグラフ」の概念を導入し、サイズ式導出の基盤とすること。
• 記号計算を活用したアルゴリズムを設計し、任意の与えられたコアグラフに対してサイズ式を導出可能にし、高速かつスケーラブルなサイズ数え上げを実現すること。
• 非スパースな無向部分グラフを有するMECに対して、式に基づく数え上げ法が再帰的走査法を著しく上回ることを示すこと。

提案手法

• 本質的グラフの支配頂点を除いた弦的無向部分グラフとして『コアグラフ』を定義し、MECの本質的構造的複雑性を捉える。
• MECのサイズが支配頂点の数に関する多項式であることを示し、その係数はコアグラフの構造によって完全に決定されることを示す。
• コアグラフ $ {f K} $ と支配頂点数 $ m $ を持つMECにおけるDAGの数を数える関数 $ f({f K}, m) $ を用いて、サイズ多項式を再帰的に計算する公式を構築する。
• コアグラフの頂点の次数および近傍構造、特に弦性と誘導部分グラフの性質を活用して、$ f({f K}, m) $ の明示的公式を導出する。
• 木や弦的部分グラフに関する既知の結果を活用し、再帰的分解と記号計算を用いて、任意の与えられたコアグラフに対してサイズ式を自動で導出するアルゴリズムを実装する。
• 得られた多項式を直接評価する式ベースのサイズ数え上げアルゴリズムを構築し、MEC内に存在するすべてのDAGを列挙する高コストな走査を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DAGのマルコフ同値クラスのサイズを、支配頂点の数の多項式関数として体系的に表現する方法は何か？
• RQ2 本質的グラフの構造的性質、特にその無向部分グラフが、サイズ多項式の形にどのように影響を与えるか？
• RQ3 任意のコアグラフに対して、一般化された記号的アルゴリズムを用いてそのサイズ式を導出できるか？
• RQ4 提案された式ベースの数え上げ法は、非スパースな本質的グラフに対して、従来の再帰的走査法と比較してどの程度効率的か？
• RQ5 辺が最大5本欠落している、または木や弦的グラフといった特定構造を有するコアグラフのサイズ式の明示的多項式形は何か？

主な発見

• マルコフ同値クラスのサイズは、支配頂点の数に関する多項式であり、その係数はコアグラフによって完全に決定される。
• 木の場合、サイズ式は $ p + 2(p-1)m $ であり、$ p $ は頂点数、$ m $ は支配頂点数を表す。
• 1つの辺を追加した木（三角形を形成）の場合、サイズ式は $ 3m^2 + 4pm - 3m + 2p $ であり、$ m $ に対して2次関数的依存を示す。
• $ p/2 $ 個の成分（$ m+1 $ 頂点の完全グラフ1つと $ p/2 - 1 $ 個の1辺グラフ）からなるコアグラフの場合、サイズ式は $ 2^{p/2} (pm/2 + p/2) $ である。
• 記号計算に基づくアルゴリズムは、任意のコアグラフに対してサイズ式を効率的に導出でき、式ベースの数え上げアルゴリズムは非スパースな無向部分グラフを有するMECに対して、走査ベースの手法と比較して顕著な高速化を達成する。
• 実験的結果により、提案手法がスケーラブルであり、非スパースな無向部分グラフを有する場合、従来の再帰的数え上げ手法に比べて著しく高速であることが確認された。