[논문 리뷰] Forward and Backward Stochastic Differential Equations with normal constraint in law

Philippe Briand, Pierre Cardaliaguet외 2명|ArXiv.org|2019. 03. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리오네스 미분을 통한 평균장 반사와 스코로호드 유형의 반사에 기반한 법의 정상 제약 조건을 갖는 정방향 및 역방향 확률미분방정식(SDE)의 잘 정의됨을 입증한다. 존재성과 유일성을 보이며, 워샤르스타인 공간 상의 포크너-플랭크 유사 PDE를 도출하고, 포워드의 경우 노이만 조건 또는 백워드의 경우 장애물 조건을 갖는다. 입자계 시스템 근사와 수렴 분석을 통해 결과를 검증한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the well-posedness of backward or forward stochastic differential equations whose law is constrained to live in an a priori given (smooth enough) set and which is reflected along the corresponding ''normal'' vector. We also study the associated interacting particle system reflected in mean field and asymptotically described by such equations. The case of particles submitted to a common noise as well as the asymptotic system is studied in the forward case. Eventually, we connect the forward and backward stochastic differential equations with normal constraints in law with partial differential equations stated on the Wasserstein space and involving a Neumann condition in the forward case and an obstacle in the backward one.

연구 동기 및 목표

• 법에 대한 일반적인 제약 집합을 갖는 다차원 경우로 평균 반사 SDE를 확장한다.
• 법에 대한 정상 제약 조건 하에서 정방향 및 역방향 SDE의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 이러한 확률적 시스템을 워샤르스타인 공간 상의 편미분방정식과 연결하며, 포워드의 경우 노이만 조건 또는 백워드의 경우 장애물 조건을 갖는다.
• 공통 노이즈와 법 제약 조건을 갖는 상호작용 입자계의 평균장 극한을 분석한다.
• 입자계 근사가 한계 SDE로 수렴하는 데 대한 엄밀한 수렴 분석을 제공한다.

제안 방법

• 제약 함수형의 리오네스 미분을 기반으로 하는 스코로호드 유형의 반사 항을 포함한 정방향 및 역방향 SDE를 수립한다.
• 법의 진동을 정상 반사와 함께 기술하는 워샤르스타인 공간 상의 일반화된 포크너-플랭크 방정식을 도입한다.
• 제약 함수형 H(μ)의 확률측도 공간에서의 도함수를 정의하기 위해 리오네스의 변분법을 적용한다.
• 공통 노이즈를 갖는 입자계 근사를 통해 평균장 극한을 모델링하고, 적절한 조건 하에서 법 수렴과 경로 수렴을 증명한다.
• 편미분을 적용하고 일관된 사전 추정치를 활용하여 입자계가 한계 SDE로 수렴함을 증명한다.
• 이토의 공식과 측도 공간 내의 확률적 미적분을 적용하여, 경계 조건을 갖는 워샤르스타인 공간 상의 PDE를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정방향 SDE가 법 제약 조건을 정상 반사 메커니즘을 통해 갖는 경우, 다차원 설정에서 유일한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 해의 법은 어떻게 진동하는가? 그리고 노이만 유사 경계 조건을 갖는 워샤르스타인 공간 상의 PDE는 무엇인가?
• RQ3 공통 노이즈와 법 제약 조건을 갖는 평균장 상호작용 입자계는 한계 SDE로 수렴하는가? 이는 법에 대한 정상 제약 조건을 갖는다.
• RQ4 역방향 SDE의 법 제약 조건에 대응하는 결정론적 PDE는 무엇이며, 워샤르스타인 공간 상의 장애물 문제와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 입자계가 한계 SDE로 수렴하는 데 있어 제약 함수형과 초기 법의 정(regularity)은 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 계수와 제약 함수형에 대한 적절한 정규성 및 유계성 가정 하에 다차원 설정에서 법에 대한 정상 제약 조건을 갖는 정방향 및 역방향 SDE의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 포워드의 경우, 법은 리오네스 도함수를 기반으로 하는 노이만 유사 조건을 갖는 워샤르스타인 공간 상의 포크너-플랭크 유사 PDE를 만족한다.
• 백워드의 경우, 관련 PDE는 장애물 유형이며, 제약 함수형이 장애물로 작용하고 반사 항은 법 공간 내 정규 도함수에 대응한다.
• 입자계 근사는 한계 SDE로 법 수렴을 보이며, 추가적인 정규성 가정 하에 경로 수렴이 확립되며, 일관된 추정치를 통해 수렴 속도가 유도된다.
• 편미분을 적용하고 L^p 공간 내 일관된 유계성을 활용하여 입자계의 수렴을 증명하였으며, 반사 항과 제약 함수형이 분포상 및 L^p에서 수렴함을 보였다.
• 논문은 워샤르스타인 공간 상의 한계 PDE가 잘 정의되어 있음을 입증하였으며, 법 공간 내 스코로호드 반사 조건에 의해 해가 특징지워진다.