[論文レビュー] Foundations of Topological Stacks I

Behrang Noohi|ArXiv.org|Mar 13, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 96

ひとこと要約

本稿は、局所的に連結で、局所的に1次元的に連結なトポロジカルスタックの基礎的なホモトピー理論を確立し、ホモトピー群と、被覆空間におけるガロア理論を導入する。また、複素代数的スタックの代数的基本群が、その関連するトポロジカルスタックの基本群のプロフィニート完備化に同型であることを示すリーマン存在定理を証明し、代数的およびトポロジカルな不変量を結びつける。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers devoted to foundations of topological stacks. We begin developing a homotopy theory for topological stacks along the lines of classical homotopy theory of topological spaces. In this paper we go as far as introducing the homotopy groups and establishing their basic properties. We also develop a Galois theory of covering spaces for a (locally connected semilocally 1-connected) topological stack. Built into the Galois theory is a method for determining the stacky structure (i.e., inertia groups) of covering stacks. As a consequence, we get for free a characterization of topological stacks that are quotients of topological spaces by discrete group actions. For example, this give a handy characterization of good orbifolds. Orbifolds, graphs of groups, and complexes of groups are examples of topological (Deligne-Mumford) stacks. We also show that any algebraic stack (of finite type over $\mathbb{C}$) gives rise to a topological stack. We also prove a Riemann Existence Theorem for stacks. In particular, the algebraic fundamental group of an algebraic stack over $\mathbb{C}$ is isomorphic to the profinite completion of the fundamental group of its underlying topological stack. The next paper in the series concerns function stacks (in particular loop stacks) and fibrations of topological stacks. This is the first in a series of papers devoted to foundations of topological stacks.

研究の動機と目的

• トポロジカルスタックの体系的なホモトピー理論を、古典的な位相空間のホモトピー理論に類似する形で開発すること。
• 被覆空間のためのガロア理論を確立し、被覆スタックのインertia群を決定する手法を含めること。
• 複素数体上の代数的スタックがトポロジカルスタックを生じさせることを示し、トポロジカル不変量の移行を可能にすること。
• スタックに対するリーマン存在定理を証明し、代数的スタックの有限エタール被覆と、それらのトポロジカル実現の有限被覆スタックとの間の関係を結ぶこと。
• オービフォールド、グラフの群、複体の群といった既存の理論を、トポロジカルスタックの枠組みの下で統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 局所的ファイブレーションと表現可能な写像に注目し、モリタ同値を介して群値を用いたトポロジカルスタックを導入する。
• 単体的解体の幾何的実現を用いて、トポロジカルスタックのホモトピー群を定義する。
• ファイバー積の連結成分を分析し、インertia群を重要な不変量として用いることで、被覆スタックのためのガロア理論を構成する。
• 粗いモジュライ空間と開チャートの概念を用いて、スタック論的構成を位相空間に結びつける。
• 表現可能性の基準を証明し、それらを用いて、トポロジカルなリーマン存在定理を介して、位相的被覆写像を代数的有限エタール被覆に持ち上げること。
• 代数的スタックの有限エタール写像と、それらのトポロジカル実現の有限被覆スタックとの間の2-圏的同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルスタックのホモトピー理論を、位相空間の古典的ホモトピー理論に類似する形で体系的にどのように発展させることができるか？
• RQ2 インertia群は、トポロジカルスタックの被覆スタックの分類において果たす役割は何か？
• RQ3 スキームから拡張されたリーマン存在定理を、代数的スタックのトポロジカル実現を通じて複素数体上に拡張できるか？
• RQ4 トポロジカルスタックの理論は、オービフォールド、グラフの群、複体の群といった既存の構造をどのように統一的かつ一般化するか？
• RQ5 複素代数的スタックの代数的基本群と、その対応するトポロジカルスタックの基本群のプロフィニート完備化との正確な関係は何か？

主な発見

• 複素数体上の連結な代数的スタックの代数的基本群は、その関連するトポロジカルスタックの基本群のプロフィニート完備化に同型である。
• 複素数体上の代数的スタックの有限エタール写像は、そのトポロジカル実現の有限被覆スタックと一対一に対応し、圏の同値性が確立される。
• 被覆スタックのガロア理論により、ベーススタックの基本群から被覆スタックのインertia群を計算する手法が得られる。
• 任意の複素数体上での有限型代数的スタックは、その群値の解析化を通じて、トポロジカルスタックを生じさせる。
• 理論は、オービフォールド、グラフの群、複体の群を、トポロジカル（デリーニュ＝ムーアド）スタックの特別な場合として統一的に扱う。
• 代数的スタックに付随するトポロジカルスタックは、ホモトピー的構造を保存するため、トポロジカル不変量を代数的設定に移行することが可能になる。