[論文レビュー] Four dimensional static and related critical spaces with harmonic curvature

Jongsu Kim, Jinwoo Shin|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リッチテンソルおよびスカラー曲率を含む一般化された静的型方程式の非定数解を許容する、調和的曲率をもつ4次元リーマン多様体を分類する。調和的曲率から得られるコダツィ型テンソルの性質を活用し、勾配リッチソリトン解析の技術を応用することで、このような多様体が5つのモデル空間のいずれかと局所等長であることを示している。そのモデル空間とは、2次元球面または双曲平面上の積、静的空間、共形平坦な静的計量、またはリッチ平坦計量である。これにより、調和的曲率をもつ4次元の静的空間、Miao-Tam臨界空間、およびV-静的空間の局所分類が完全化される。

ABSTRACT

In this article we study any 4-dimensional Riemannian manifold $(M,g)$ with harmonic curvature which admits a smooth nonzero solution $f$ to the following equation \begin{eqnarray} \label{0002bx} abla df = f(Rc -\frac{R}{n-1} g) + x Rc+ y(R) g. \end{eqnarray} where $Rc$ is the Ricci tensor of $g$, $x$ is a constant and $y(R)$ a function of the scalar curvature $R$. We show that a neighborhood of any point in some open dense subset of $M$ is locally isometric to one of the following five types; { m (i)} $ \mathbb{S}^2(\frac{R}{6}) imes \mathbb{S}^2(\frac{R}{3})$ with $R>0$, { m (ii)} $ \mathbb{H}^2(\frac{R}{6}) imes \mathbb{H}^2(\frac{R}{3}) $ with $R<0$, where $\mathbb{S}^2(k) $ and $\mathbb{H}^2(k) $ are the two-dimensional Riemannian manifold with constant sectional curvature $k>0$ and $k<0$, respectively, { m (iii)} the static spaces in Example 3 below, { m (iv)} conformally flat static spaces described in Kobayashi's \cite{Ko}, and { m (v)} a Ricci flat metric. We then get a number of Corollaries, including the classification of the following four dimensional spaces with harmonic curvature; static spaces, Miao-Tam critical metrics and $V$-static spaces. The proof is based on the argument from a preceding study of gradient Ricci solitons \cite{Ki}. Some Codazzi-tensor properties of Ricci tensor, which come from the harmonicity of curvature, are effectively used.

研究の動機と目的

• リッチテンソルおよびスカラー曲率を含む一般化された静的方程式の非定数解を許容する、調和的曲率をもつ4次元リーマン多様体を分類すること。
• 静的空間、Miao-Tam臨界空間、およびV-静的空間の既存の分類を、調和的曲率を構造的制約として組み込むことで拡張すること。
• リッチソリトン理論からの幾何学的・解析的技術を用いて、このような空間の完全な局所分類を提供すること、非共形平坦な例を含むこと。
• 4次元におけるMiao-Tam臨界計量の共形平坦性に関する未解決問題を解消し、スカラー曲率が0である非共形平坦な例を特定すること。

提案手法

• 4次元リーマン多様体上での非定数関数 f に対して、方程式 ∇²f = f(Rc - R/(n-1)g) + x·Rc + y(R)g を解析する。この多様体は調和的曲率をもつ。
• リーマン曲率テンソルの調和性から導かれるコダツィ型テンソルの性質を適用し、リッチテンソルの構造を制約する。
• 勾配リッチソリトンに関する先行研究の手法を応用し、f の等高面の局所幾何を分析する。
• 方程式のトレースを用いて、スカラー曲率 R を関数 f および定数 x, y(R) に関連づけ、R の符号および定数性に基づく場合分けを行う。
• ワーペッド積構造における得られた常微分方程式系のケースバイケース分析を行い、5つの異なる局所的モデル幾何を同定する。
• 既知の分類（例：Kobayashi [18] の共形平坦静的空間の分類）との整合性を検証し、非共形平坦な場合へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和的曲率をもち、一般化された静的方程式の非定数解をもつ4次元リーマン多様体の局所的幾何的モデルは何か？
• RQ2 調和的曲率をもち、非共形平坦なMiao-Tam臨界計量の4次元例は存在するか？
• RQ3 4次元におけるMiao-Tam臨界計量について、曲率の調和性は共形平坦性を意味するか？
• RQ4 調和的曲率をもつ完全なV-静的空間や臨界点計量は、共形平坦でない場合を除き、完全に分類可能か？
• RQ5 4次元の閉多様体上に定義された調和的曲率をもつ臨界点計量は、多様体が閉じていない場合でも、必ずアインシュタイン条件を満たすのか？

主な発見

• 調和的曲率をもち、一般化された静的方程式の非定数解 f をもつ任意の4次元リーマン多様体は、5つのモデル空間のいずれかと局所等長である。そのモデル空間とは、R>0 のとき S²(R/6)×S²(R/3)、R<0 のとき H²(R/6)×H²(R/3)、例3の静的空間、Kobayashi [18] の共形平坦静的空間、またはリッチ平坦計量である。
• 非共形平坦な静的空間は存在し、それはスカラー曲率が0である R¹×W³ として実現される。ここで W³ は3次元の共形平坦静的空間である。
• 調和的曲率をもつMiao-Tam臨界計量について、境界が S³ に等長であり、多様体が単連結かつコンパクトであるならば、それは R⁴、H⁴、または S⁴ の測地的球体に等長である。
• 完全な4次元多様体上に定義された臨界点計量（∇²f = f(Rc - R/(n-1)g) + Rc - R/n·g）で、調和的曲率をもつものは、共形平坦であるか、またはスカラー曲率が0である R¹×W³ の商多様体に等長である。
• スカラー曲率が0である臨界点計量について、非共形平坦な例は存在する。正のスカラー曲率に対しては、非周期的 f をもつ周期的ワーペッド積構造（例：R×_h N(1)）も存在する。
• 本分類は、可能なすべての局所的モデルを網羅しており、このような空間が常に共形平坦であるという予想を、明示的な非共形平坦例の提示によって解消している。