[論文レビュー] Foxby equivalence, local duality and Gorenstein homological dimensions

Fatemeh Mohammadi Aghjeh Mashhad, Kamran Divaani-Aazar|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可換代数における一般化局所コホモロジー加群を通じて、Foxby同値性と局所双対性を結びつける双対性フレームワークを確立する。局所環に正規化された双対化複体を持つホモロジー的有界な複体 $X$ と $Y$ に対して、$ abla{rak{m}}$-切断 $ abla{rak{m}}(\mathbf{R} abla{\operatorname{Hom}}_R(X,Y))$ が、$ abla{rak{m}}(\mathbf{R} abla{\operatorname{Hom}}_R(Y, D \otimes_R^L X))^\vee$ に同型であることを証明する。これは古典的局所双対性をゴレンシュタインホモロジー的設定に拡張し、この文脈でグロタンディークの非消失定理を証明する。

ABSTRACT

Let $(R,\fm)$ be a local ring and $(-)^{\vee}$ denote the Matlis duality functor. We investigate the relationship between Foxby equivalence and local duality through generalized local cohomology modules. Assume that $R$ possesses a normalized dualizing complex $D$ and $X$ and $Y$ are two homologically bounded complexes of $R$-modules with finitely generated homology modules. We present several duality results for $\fm$-section complex ${\bf R}Γ_{\fm}({\bf R}\Hom_R(X,Y))$. In particular, if G-dimension of $X$ and injective dimension of $Y$ are finite, then we show that $${\bf R}Γ_{\fm}({\bf R}\Hom_R(X,Y))\simeq ({\bf R}\Hom_R(Y,D\otimes_ R^{\bf L}X))^{\vee}.$$ We deduce several applications of these duality results. In particular, we establish Grothendieck's non-vanishing Theorem in the context of generalized local cohomology modules.

研究の動機と目的

• 一般化局所コホモロジー加群を通じて、Foxby同値性と局所双対性を統一すること。
• 有限G次元またはゴレンシュタインインジェクティブ次元を持つ複体へ、古典的局所双対性定理を拡張すること。
• 一般化局所コホモロジーの文脈でグロタンディークの非消失定理を確立すること。
• ゴレンシュタインホモロジー的条件下でのコホモロジー次元および annihilator 理想の挙動を調査すること。

提案手法

• Matlis双対性関手 $(-)^\vee = \nabla{\operatorname{Hom}}_R(-, E(R/\mathfrak{m}))$ を用いて、導来Hom複体を関連付ける。
• 正規化された双対化複体 $D$ を用いた導来テンソル積 $D \otimes_R^L X$ の適用。
• 有限G次元またはインジェクティブ次元の条件下で、双対性同型 $\mathbf{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(\mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(X,Y)) \simeq (\mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(Y, D \otimes_R^L X))^\vee$ の確立。
• 完全な状況への還元のために、$\widehat{R}$ への忠実平坦基底変換を用い、ホモロジー的不変量を保存する。
• グロタンディークの非消失定理とアウスランダー圏の性質を用いて、コホモロジー的境界を導出する。
• 正則双対化モジュールとのテンソル積による、有限射影的／インジェクティブ次元のモジュールの部分カテゴリとその双対との間の同値性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Foxby同値性は、導来圏の枠組みにおいて、局所双対性とどのように作用するか？
• RQ2 古典的局所双対性定理は、有限G次元またはゴレンシュタインインジェクティブ次元を持つ複体へ拡張可能か？
• RQ3 $X$ が有限G次元で $N$ が有限インジェクティブ次元であるとき、コホモロジー次元 $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N)$ はどのように振る舞うか？
• RQ4 どのような条件下で $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) = \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$ が成り立つか？
• RQ5 ゴレンシュタイン設定における一般化局所コホモロジー加群に対して、グロタンディークの非消失定理は成立するか？

主な発見

• 複体 $X$ が有限G次元で $Y$ が有限インジェクティブ次元であるとき、双対性同型 $\mathbf{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(\mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(X,Y)) \simeq (\mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(Y, D \otimes_R^L X))^\vee$ が成り立つ。
• 複体 $X$ が有限射影的次元または有限G次元で $N$ が有限射影的次元であるとき、コホモロジー次元 $\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N)$ は不等式 $\dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X) \leq \operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) \leq \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$ を満たす。
• $N$ が有限インジェクティブ次元または有限ゴレンシュタインインジェクティブ次元で、$X$ が有限射影的またはインジェクティブ次元であるとき、$\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(X,N) = \dim R - \ell_R(\operatorname{Ann}_R N, X)$ が成り立つ。
• 様々なゴレンシュタインホモロジー的有限性条件の下で、交差不等式 $\dim_R N \leq \dim_R \mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(M,N) \leq -\inf \mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(M,N) + \dim_R(M \otimes_R N)$ が成り立つ。
• グロタンディークの非消失定理が一般化される：指定された有限性仮定の下で、$\operatorname{cd}_{\mathfrak{m}}(M,N) = \dim_R \mathbf{R}\nabla{\operatorname{Hom}}_R(M,N)$ が成り立つ。
• コホモロジー次元および annihilator 濃度は、完成化のもとで保存され、正規化された双対化複体が存在する完全な状況への還元を可能にする。