[논문 리뷰] Fractal Models for Normal Subgroups of Schottky Groups

Johannes Jaerisch|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그래프 지배 마르코프 체계(GDMS)를 사용하여 슈코프 유형 클레인 군의 정규부분군에 대한 원형 극한집합을 도입하며, 이러한 분수형 모델의 하우스도르프 차원이 전체 자유군의 것과 같아지는 것은 오직 몫군이 아메니타블일 때에만 성립함을 증명한다. 브룩스의 결과를 확장하여, 비아메니타블 몫군은 엄밀히 더 큰 차원을 유도하며, 하한은 전체 군의 차원의 절반을 초과한다.

ABSTRACT

For a normal subgroup $N$ of the free group $\F_d$ with at least two generators we introduce the radial limit set $\Lr(N,Φ)$ of $N$ with respect to a graph directed Markov system $Φ$ associated to $\F_d$. These sets are shown to provide fractal models of radial limit sets of normal subgroups of Kleinian groups of Schottky type. Our main result states that if $Φ$ is symmetric and linear, then we have that $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))=\dim_{H} \Lr(\F_d,Φ))$ if and only if the quotient group $\F_d /N$ is amenable, where $\dim_{H}$ denotes the Hausdorff dimension. This extends a result of Brooks for normal subgroups of Kleinian groups to a large class of fractal sets. Moreover, we show that if $\F_d /N$ is non-amenable then $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))>\dim_{H}(\Lr(\F_d,Φ))/2$, which extends results by Falk and Stratmann and by Roblin.

연구 동기 및 목표

• 스코프 유형 클레인 군의 정규부분군에 대한 원형 극한집합의 분수형 모델을 개발한다.
• 이 극한집합의 하우스도르프 차원을 군론적 성질, 특히 몫군의 아메니타블성에 따라 특성화한다.
• 클래식한 수렴 지수와 차원에 관한 결과를 GDMS를 통해 더 넓은 범위의 분수형 모델로 확장한다.
• 극한집합의 기하적 차원과 몫군 $\mathbb{F}_d/N$의 대수적 구조 사이의 정확한 대응관계를 설정한다.

제안 방법

• 논문은 자유군 $\mathbb{F}_d$ ($d \geq 2$)에 대해 선형 그래프 지배 마르코프 체계(GDMS) $\Phi$를 구성하며, 간선 별로 다른 수축 비율을 갖는 수축 동형사상을 사용한다.
• 정규부분군 $N \triangleleft \mathbb{F}_d$에 대해 기호 동역학을 통해 시프트 공간 $\Sigma_\Phi$에서 원형 극한집합 $\Lambda_r(N, \Phi)$와 균일 원형 극한집합 $\Lambda_{ur}(N, \Phi)$를 정의한다.
• 부분군 $H \leq \mathbb{F}_d$에 대해 감소한 단어를 따라 수축 비율의 곱을 사용하여 푸앵카레 급수 $P(H, \Phi, s)$와 수렴 지수 $\delta(H, \Phi)$를 정의한다.
• 극한집합의 하우스도르프 차원은 수렴 지수와 관계가 있으며, $\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$로 표현된다.
• 분석은 페르론-프로베니우스 연산자와 군 위의 랜덤 워크 성질을 사용하여 전이 연산자의 스펙트럴 반경과 아메니타블성 간의 관계를 규명한다.
• 스코프 유형 클레인 군 $G$에 관련된 표준 GDMS $\Phi_G$를 사용하여 $\Lambda_r(N, \Phi_G) = L_r(N)$ 및 $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G) = L_{ur}(N)$임을 보여주며, 기호 동역학과 기하적 극한집합 간의 연결을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규부분군 $N$의 원형 극한집합의 하우스도르프 차원이 전체 자유군과 같아지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 몫군 $\mathbb{F}_d/N$의 아메니타블성이 $N$의 원형 극한집합의 차원에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 몫군 $\mathbb{F}_d/N$가 비아메니타블일 경우, $\Lambda_r(N, \Phi)$의 하우스도르프 차원에 대한 날카운 하한은 무엇인가?
• RQ4 정규부분군의 원형 극한집합의 분수형 구조는 대칭 선형 GDMS를 통해 정확히 모델링될 수 있는가?
• RQ5 부분군 $N$의 푸앵카레 급수와 수렴 지수는 몫군 $\mathbb{F}_d/N$의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 원형 극한집합 $\Lambda_r(N, \Phi)$의 하우스도르프 차원이 $\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi)$와 같아지는 것은 오직 몰입군 $\mathbb{F}_d/N$가 아메니타블일 때에만 성립한다.
• 만약 $\mathbb{F}_d/N$가 비아메니타블이라면, $\dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) > \dim_H(\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi))/2$이다.
• 모든 비자명한 정규부분군 $N$에 대해 수렴 지수는 $\delta(N, \Phi) > \delta(\mathbb{F}_d, \Phi)/2$를 만족한다.
• 수렴 지수 $\delta(N, \Phi)$는 균일 원형 및 원형 극한집합의 하우스도르프 차원과 일치한다: $\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$.
• 스코프 유형 클레인 군 $G$의 정규부분군 $N$의 원형 극한집합 $L_r(N)$은 $\Phi_G$의 표준 GDMS에 대해 $\Lambda_r(N, \Phi_G)$와 정확히 일치한다.
• 원형 극한집합 $L_{ur}(N)$은 정확히 $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G)$와 일치하며, 이는 기호적 구조와 기하적 구조 간의 정확한 대응관계를 확립한다.