[論文レビュー] Fractal Quantum Phase Transitions: Critical Phenomena Beyond Renormalization

Zheng Zhou, Xuefeng Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2021

Theoretical and Computational Physics参考文献 37被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、Sierpinskiギャスケット上でフラクタル $Z_2$ 対称性を破る、横磁場 Newman-Moore模型における連続的量子臨界点を特定し、臨界次元がフラクタルスケーリング次元 $d = \ln(3)/\ln(2)$ を示すことを示している。大規模な量子モンテカルロシミュレーションと新規の場理論を用いて、フラクタル対称性によって引き起こされるUV-IR混合のため、標準的なレノルミズェーション群理論の適用が不可能であることが示され、負の異常次元 $\eta = -0.19(4)$ を持つ普遍的臨界指数が得られた。

ABSTRACT

We identify a quantum critical point with fractal symmetry whose effective theory eludes the renormalization group framework. We consider the Newman-Moore model with three-body interaction subjected to an external transverse field, which exhibits a Kramers-Wannier type self-duality and a fractal $Z_2$ symmetry with Ising charge conserved on a fractal subset of sites, i.e., on Sierpinski gaskets. Using large-scale quantum Monte Carlo simulations, we identify a continuous quantum phase transition between a phase with spontaneous fractal symmetry breaking and a paramagnetic phase. This phase transition is characterized by the emergence of a fractal scaling dimension $d=\ln(3)/\ln(2)$ at the quantum critical point, where the power-law exponent of the correlation function is related to the fractal dimension of the Sierpinski triangle. We develop a field theory to elucidate such quantum criticality and denote the fractal scaling as a subsequence of UV-IR mixing, where the low energy modes at the critical point are manipulated by short-wavelength physics due to the fractal symmetry.

研究の動機と目的

• フラクタル対称性を持つ系における量子臨界性の性質を理解すること。これは、従来のレノルミズェーション群理論では捉えきれない。
• 量子スピン模型において、自発的フラクタル対称性の破れを伴う連続的相転移が生じるかどうかを特定すること。
• このような転移の臨界挙動、特にスケーリング性質と臨界指数を特徴づけること。
• 臨界点におけるフラクタルスケーリングとUV-IR混合の出現を説明する場理論を構築すること。
• フラクタル対称性が臨界現象に与える影響を、グローバル対称性駆動の転移と区別して評価すること。

提案手法

• 周期的境界条件を用いた横磁場 Newman-Moore模型に対して、大規模な確率的系列展開（SSE）量子モンテカルロシミュレーションを実施する。
• 系サイズ $L = 8, 11, 13, 16, 20, 23, 26, 32$ と逆温度 $\beta \propto L$ を用い、熱力学的極限への外挿を実行する。
• Sierpinskiギャスケットのクラスタ内でのスピン反転を尊重するように改造されたクラスタ更新アルゴリズムを実装し、受容確率 $P_{\text{acc}} = (J/\epsilon + 1)^{\Delta N}$ を用いる。
• 秩序相における非効率性（ガラス性）を克服し、エルゴード性を向上させるために、縦磁場 $H' = -h\sum_i \sigma_i^z$ を用いたアニーリングプロトコルを適用する。
• アンサンブル $y_L(\Gamma) = Q_L(\Gamma) L^{-\kappa/\nu} / (1 + cL^{-\omega})$ を用いて、バインダ比、秩序パラメータ、感受率、比熱について有限サイズスケーリングを実施する。
• 臨界点がUV-IR混合の部分列として特定される場理論を構築し、フラクタル対称性によって短波長の物理が低エネルギーモードに影響を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン模型において、自発的フラクタル対称性の破れを伴う連続的量子相転移が生じ得るか？
• RQ2 フラクタル対称性の存在が、グローバル対称性を持つ系と比較して臨界スケーリング挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 フラクタル量子臨界性におけるUV-IR混合の役割は何か？ そして、それが標準的なレノルミズェーション群アプローチを無効にする理由は？
• RQ4 この転移の臨界指数は普遍的であり、標準的なスケーリング関係を満たすか？
• RQ5 臨界点における発現的フラクタルスケーリングを記述する場理論を構築可能か？

主な発見

• 横磁場 Newman-Moore模型における量子相転移は連続的であり、フラクタルスケーリング次元 $d = \ln(3)/\ln(2) \approx 1.585$ を示し、Sierpinski三角形のハウスドルフ次元と一致する。
• バインダ比の有限サイズスケーリングから $\nu = 0.50(2)$ を得て、非自明な臨界点に一致する相関長指数が得られた。
• 秩序パラメータのスケーリングから $\beta/\nu = 0.448(8)$ を得て、$\beta = 0.224(5)$ が得られ、これは転移が平均場理論的でないことを確認する。
• 感受率のスケーリングから $\gamma/\nu = 2.19(4)$ を得て、関係式 $\gamma/\nu = 2 - \eta$ を用いることで負の異常次元 $\eta = -0.19(4)$ が得られ、非自明な臨界性の特徴である。
• 臨界指数は標準的なスケーリング関係を満たしており、非可再規格化性にもかかわらず転移の普遍性が確認された。
• 転移はフラクタル対称性によって引き起こされるUV-IR混合によって駆動されており、低エネルギーモードが短波長フラクチュエーションに影響を受けるため、従来のRG理論の適用範囲外にある。