[論文レビュー] Fractional calculus and generalized Mittag-Leffler type functions

Christian Lavault|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Riemann–Liouville、Saigo、およびSaigo–Maeda作用素を用いて、一般化されたM-系列およびK-関数という一般化されたMittag-Leffler型関数に一般化された分数階積分作用素を適用することを検討する。既知の性質を一般化する新しい解析的結果を確立し、分数階微分方程式および数学物理学への応用のための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper, the generalized fractional integral operators of two generalized Mittag-Leffler type functions are investigated. The special cases of interest involve the generalized Fox--Wright function and the generalized M-series and K-function. In the next Section 2 we first recall some generalized fractional integral operators among the most widely used in fractional calculus. Section 3 is devoted to the definitions of M-series and K-function and their relations to special functions. In Sections 4 and 5, effective fractional calculus of the generalized M-series and the K-function is carried out. The last section briefly concludes and opens up new perspectives. The results established herein generalize recent properties of generalized Mittag-Leffler type functions using left-and right-sided generalized fractional differintegral operators. The note results also in important applications in physics and mathematical engineering.

研究の動機と目的

• 最近の一般化されたMittag-Leffler関数の性質を、高度な分数階微積分作用素を用いて一般化すること。
• 一般化されたM-系列およびK-関数の分数階積分および微分作用素の性質を調査すること。
• これらの関数とFox–Wright psi関数、一般化された超幾何関数、および一般化されたM-系列との間の関係を確立すること。
• 数学物理学への応用を想定した、特殊関数に一般化された分数階微積分を適用するための体系的枠組みを提供すること。
• 左および右片側一般化された分数階作用素を用いて、Mittag-Leffler関数に関する既知の結果をより広い関数類に拡張すること。

提案手法

• 左および右片側一般化された分数階積分作用素（Riemann–Liouville、Saigo、Saigo–Maeda型）を用いる。
• 変換公式を導出するために積分表現およびMellin–Barnes型の閉曲線積分を適用する。
• 一般化されたM-系列およびK-関数を表すための統一的枠組みとしてFox–Wright関数を用いる。
• ガンマ関数およびベータ関数を含む積分を評価するために、解析接続および留数計算を用いる。
• Phragmén–Lindelöfの原理を用いて、|z|が大きい場合のMittag-Leffler型関数の漸近展開を導出する。
• 一般化された超幾何関数${}_pF_q$およびその積分表現を用いて、M-系列およびK-関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された分数階積分作用素はM-系列およびK-関数にどのように作用するか？
• RQ2 左および右片側分数階積分の下で、一般化されたM-系列およびK-関数の解析的性質は何か？
• RQ3 既知の古典的Mittag-Leffler関数の分数階微積分の性質は、どのように一般化されるか？
• RQ4 分数階微積分の文脈において、M-系列、K-関数、およびFox–Wright関数との関係は何か？
• RQ5 |z| → ∞ のとき、これらの一般化された関数の漸近的挙動は何か？

主な発見

• SaigoおよびSaigo–Maeda作用素を用いて、M-系列およびK-関数の一般化された分数階積分が明示的に導出され、古典的結果が拡張された。
• 本稿は、M-系列およびK-関数がFox–Wright関数を用いて表現可能であることを確立し、分数階微積分における統一的取り扱いを可能にした。
• 閉曲線積分および留数解析を用いて、|z| → ∞ のときのMittag-Leffler型関数の漸近展開が導出された。
• 結果として、M-系列およびK-関数の分数階微分が、特に${}_2F_1$および一般化された超幾何関数を含む超幾何型変換を含むことが示された。
• 一般化されたM-系列およびK-関数が、古典的Mittag-Leffler関数と同様に、次数ρ = 1 / ℜ(α)、型σ = 1の整関数であることが確認された。
• Gauss超幾何関数${}_2F_1$のMellin–Barnes積分による積分表現が、|arg(−z)| < π の領域で厳密に導出された。