[論文レビュー] Fractional discrete Laplacian versus discretized fractional Laplacian

Óscar Ciaurri, Luz Roncal+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、半群理論を用いて格子 $\mathbb{Z}_h = h\mathbb{Z}$ 上の分数階離散ラプラシアン作用素 $(-\Delta_h)^s$ を導入し、連続的分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ の厳密な近似を提供する。 Hölder連続関数に対して $\ell^\infty$ における誤差推定値 $h^{\beta - 2s}$ を得ており、正則性が高まるにつれて収束が向上し、鋭い減衰性を持つ明示的な点関数的核表現を導出する。

ABSTRACT

We define and study some properties of the fractional powers of the discrete Laplacian $$(-Δ_h)^s,\quad\hbox{on}~\mathbb{Z}_h = h\mathbb{Z},$$ for $h>0$ and $0

研究の動機と目的

• 格子 $\mathbb{Z}_h$ 上での分数階離散ラプラシアン $(-\Delta_h)^s$ を半群手法を用いて定義・研究すること。
• $h \to 0$ のとき、離散的分数階ラプラシアンと連続的分数階ラプラシアンの離散化との比較を行うこと。
• 関数の正則性を最小限に仮定したもとで、近似に対する定量的 $\ell^\infty$ 誤差推定を確立すること。
• 明示的な点関数的表現を $(-\Delta_h)^s$ について核表現を用いて導出し、Hölder連続性推定を証明すること。
• 負のべき乗、すなわち離散的分数階積分 $(-\Delta_h)^{-s}$ への解析の拡張を行い、高次元における漸近的核推定を与えること。

提案手法

• 半群公式を用いて $(-\Delta_h)^s$ を定義：$(-\Delta_h)^s u_j = \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_0^\infty \left( e^{t\Delta_h}u_j - u_j \right) \frac{dt}{t^{1+s}}$ ここで $e^{t\Delta_h}$ は半離散熱方程式を解く。
• 初期データ $u_j$ を持つ半離散熱方程式 $\partial_t w_j = \Delta_h w_j$ の解を用いて、分数階のべきを表現すること。
• 修正ベッセル関数と漸近展開を用いて、$(-\Delta_h)^s$ の明示的な点関数的核表現を導出すること。
• 核の差と関数の正則性に基づく推定により、$(-\Delta_h)^s(r_h u)$ と $r_h(( -\Delta)^s u)$ 間の $\ell^\infty$ における誤差バウンドを確立すること。
• 最急降下法と漸近解析を用いて、1次元および2次元における核の減衰率を導出すること。
• ガンマ関数および修正ベッセル関数 $I_k(t)$ の性質を用いて、核の振る舞いを制御し、一様なバウンドを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h \to 0$ のとき、半群理論を用いて定義された分数階離散ラプラシアン $(-\Delta_h)^s$ は、連続的分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ の離散化とどのように比較できるか？
• RQ2 関数の正則性を最小限に仮定したもとで、$\ell^\infty$ ノルムにおける離散近似の収束速度は何か？
• RQ3 明示的な点関数的表現と核表現を $(-\Delta_h)^s$ について導出できるか？
• RQ4 離散的分数階ラプラシアンのHölder連続性特性は何か？
• RQ5 特に $\mathbb{Z}_h^2$ において、核およびその減衰特性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 関数 $u \in C^{0,\beta}(\mathbb{R})$ で $2s < \beta$ を満たすとき、$(-\Delta_h)^s(r_h u)$ と $r_h(( -\Delta)^s u)$ 間の $\ell^\infty$ 誤差は、$C[u]_{C^{0,\beta}} h^{\beta - 2s}$ で有界である。
• 関数 $u \in C^{1,\beta}(\mathbb{R})$ で $2s < \beta$ を満たすとき、1階差分 $D_+(-\Delta_h)^s(r_h u)$ の誤差は、$C[u]_{C^{1,\beta}} h^{\beta - 2s}$ で有界である。
• $2s > \beta$ のとき、誤差バウンドは $C[u]_{C^{1,\beta}} h^{\beta - 2s + 1}$ に改善され、正則性が高まるにつれて収束が向上することが示される。
• 関数 $u \in C^{k,\beta}(\mathbb{R})$ で $k + \beta - 2s$ が整数でなく、$2s < k + \beta$ を満たすとき、$l$ 階差分作用素 $D_+^l$ の $\ell^\infty$ 誤差は、$C[u]_{C^{k,\beta}} h^{\beta - 2s + k - l}$ で有界であり、ここで $l = \lfloor k + \beta - 2s \rfloor$ である。
• 明示的な点関数的表現として、$(-\Delta_h)^s u_j$ が核 $K_s(j)$ との畳み込みとして表され、$|j|$ が大きいとき $|K_s(j)| \lesssim |j|^{-1-2s}$ となることが示される。
• 2次元における核の漸近的推定が導出され、1次元の挙動と整合的であり、高次元へも拡張可能であることが示される。